Har litt problemer med en oppgave som går ut på å klassifisere alle kontinuerlige funksjoner mellom en uendelig mengde X med "finite complement" topologi og et Hausdorff rom Y.
En liten fugl har hvisket meg i øret at de kontinuerlige funksjonene er kun de konstante funksjonene, men jeg setter meg dessverre fast :S
Dette er det jeg har prøvd:
Anta at f er kontinuerlig, at f ikke er konstant , så når x1 og x2 er to ulike punkter i X, er f(x1) ulik f(x2). Siden Y er Hausdorff og f(x1) og f(x2) er er ulike, har de disjunkte åpne omegn U1 og U2 hhv. . f er kontinuerlig så f^(-1)(U1) og f^(-1)(U2) er åpne delmengder i X. Siden de er åpne, må de ifølge "finite complement" topologien være slik at X\ f^(-1)(U1) og X\ f^(-1)(U2) enten er endelige eller lik X.
Herfra står det fast. Har et håp om å ende opp med en selvmotsigelse.
Tenker at hvis de begge ( X\ f^(-1)(U1) og X\ f^(-1)(U2) ) er endelige så må både f^(-1)(U1) og f^(-1)(U2) være lik X (ser ingen annen måte at det skal være endelig på) og motsatt må de begge være like den tomme mengden hvis komplementet er lik X. Høres sikkert dumt ut, men jeg klarer ikke å konkludere med noe ut fra dette, har sett meg helt blind på den.
Blir veldig takknemlig for all hjelp
