Hei!
Sitter og jobber med oppgaver ref. topic.
Trenger litt oppklaring i forbindelse med disse oppgavene for å forhåpentligvis få en bedre forståelse.
Eks:
[tex]a_{n}=3a_{n-1}+7[/tex]
Svaret på den homogene løsningen er [tex]C3^{n} [/tex]
Svaret på den partikulære er jeg forsåvidt fortrolig med å finne, men det jeg lurer på er hvorfor svaret på den homogene blir som det blir, hvorfor får vi plutselig en konstant ganger 3 i n`te? Hvis det f eks hadde vært [tex]3a_{n+1}[/tex] som hadde stått i oppgaven, hadde den homogene løsningen da blitt [tex]C3^{2n}[/tex] ?
Differens/rekursjonsligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Den homogene ligningen er [tex]a_n = 3a_{n-1}[/tex]. Tenk deg at du har lyst til å finne hva [tex]a_n[/tex] er. Ligningen gir oss at [tex]a_1 = 3a_0[/tex]. Da kan vi finne [tex]a_2[/tex] ved at [tex]a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 3a_0 = 3^2 a_0[/tex]. Da vil [tex]a_3 = 3^3 a_0[/tex], og så videre, ikke sant? Altså kan vi generelt si at [tex]a_n = C \cdot 3^n[/tex], der [tex]C = a_0[/tex].
Blir det da noe forskjellig om det står [tex]a_n = 3a_{n-1}[/tex] eller [tex]a_{n+1} = 3a_n[/tex]?
Blir det da noe forskjellig om det står [tex]a_n = 3a_{n-1}[/tex] eller [tex]a_{n+1} = 3a_n[/tex]?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Ramanujan
- Innlegg: 285
- Registrert: 29/08-2010 16:29
- Sted: Bergen
Takk for et godt svar, nå ser jeg litt mer sammenhengen her ja! ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Da skulle det vel ikke bli noe forskjell på om det står på ene eller andre måten nei..
Her må det øves videre![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Da skulle det vel ikke bli noe forskjell på om det står på ene eller andre måten nei..
Her må det øves videre
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
-
- Ramanujan
- Innlegg: 285
- Registrert: 29/08-2010 16:29
- Sted: Bergen
Og der stod jeg fast igjen :p
Denne gangen er det den partikulære delen jeg ble usikker på hvordan de egentlig har løst..
Oppgaven:
[tex]a_{n}=3a_{n}+4n, n = 1,2,3... a_{0}=1[/tex]
Den homogene løsningen blir jo også her
[tex]C3^{n}[/tex]
Men når de har løst den partikulære, så har de gjort følgende, og jeg klarer ikke helt å se hvordan de kan gjøre det..:
[tex]a_{p}=An+B \Rightarrow A(n+1)+B=2(An+B)+4n \Rightarrow -An+A-B=4n \Rightarrow A=4,B=4[/tex]
Skjønner ikke helt hvorfor jeg ikke ser denne :/
Denne gangen er det den partikulære delen jeg ble usikker på hvordan de egentlig har løst..
Oppgaven:
[tex]a_{n}=3a_{n}+4n, n = 1,2,3... a_{0}=1[/tex]
Den homogene løsningen blir jo også her
[tex]C3^{n}[/tex]
Men når de har løst den partikulære, så har de gjort følgende, og jeg klarer ikke helt å se hvordan de kan gjøre det..:
[tex]a_{p}=An+B \Rightarrow A(n+1)+B=2(An+B)+4n \Rightarrow -An+A-B=4n \Rightarrow A=4,B=4[/tex]
Skjønner ikke helt hvorfor jeg ikke ser denne :/
Hei! ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Håper at du skrev av oppgaven feil og at det skulle vært:
[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]
Løsningsforslag:
[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]
Karakteristisk ligning:
[tex]$$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]
Homogene løsning:
[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex] *
Gjetter partikulær løsning:
[tex]$${a_p} = An + B$$[/tex] (p.g.a. h.s. i opprinnelig ligning **)
Setter forslaget inn i opprinnelig ligning:
[tex]$$An + B - 3\left( {A\left( {n - 1} \right) + B} \right) = 4n$$[/tex]
Samler alle n-ledd og konstand-ledd:
[tex]$$\left( {A - 3A} \right)n + \left( {B + 3A - 3B} \right) = 4n$$[/tex]
[tex]$$\left( { - 2A} \right)n + \left( {3A - 2B} \right) = 4n+0$$[/tex]
Får ut to ligninger jeg kan løse:
[tex]$${\rm I}.\;\; - 2A = 4 \Rightarrow A = - 2$$[/tex]
[tex]$${\rm I}{\rm I}.\;\;3{\rm A} - 2{\rm B} = 0 \Rightarrow B = - 3$$[/tex]
Partikulær løsning:
[tex]$${a_p} = - 2n - 3$$[/tex]
Foreløbige generelle løsning:
[tex]$${a_n} = {a_h} + {a_p}$$[/tex]
[tex]$${a_n} = C{3^n} - 2n - 3$$[/tex]
Nå kan vi bruke initialverdien [tex]a_0=1[/tex] og finne den siste konstanten C:
Setter inn i generell løsning:
[tex]$${a_0} = C{3^0} - 2 \cdot 0 - 3$$[/tex]
[tex]$${a_0} = C \cdot 1 - 3$$[/tex]
Setter inn kjent verdi for [tex]a_0[/tex]:
[tex]$$C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4$$[/tex]
Endelig generelle løsning blir:
[tex]$$\underline{\underline {{a_n} = 4 \cdot {3^n} - 2n - 3}} $$[/tex]
FASIT: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... 280%29%3D1 (kopier hele linken)
* & **:
![Bilde](http://i576.photobucket.com/albums/ss207/kiellandd/33-4.png)
Kilde: Formelsamlingen min
*: Gjaldt ikke i denne oppgaven, men veldig viktig å huske på da det kan føre til mye bortkasted tid på eksamen.
Håper jeg hadde riktig i begynnelsen av oppgaven at du skrev feil!![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Håper at du skrev av oppgaven feil og at det skulle vært:
[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]
Løsningsforslag:
[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]
Karakteristisk ligning:
[tex]$$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]
Homogene løsning:
[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex] *
Gjetter partikulær løsning:
[tex]$${a_p} = An + B$$[/tex] (p.g.a. h.s. i opprinnelig ligning **)
Setter forslaget inn i opprinnelig ligning:
[tex]$$An + B - 3\left( {A\left( {n - 1} \right) + B} \right) = 4n$$[/tex]
Samler alle n-ledd og konstand-ledd:
[tex]$$\left( {A - 3A} \right)n + \left( {B + 3A - 3B} \right) = 4n$$[/tex]
[tex]$$\left( { - 2A} \right)n + \left( {3A - 2B} \right) = 4n+0$$[/tex]
Får ut to ligninger jeg kan løse:
[tex]$${\rm I}.\;\; - 2A = 4 \Rightarrow A = - 2$$[/tex]
[tex]$${\rm I}{\rm I}.\;\;3{\rm A} - 2{\rm B} = 0 \Rightarrow B = - 3$$[/tex]
Partikulær løsning:
[tex]$${a_p} = - 2n - 3$$[/tex]
Foreløbige generelle løsning:
[tex]$${a_n} = {a_h} + {a_p}$$[/tex]
[tex]$${a_n} = C{3^n} - 2n - 3$$[/tex]
Nå kan vi bruke initialverdien [tex]a_0=1[/tex] og finne den siste konstanten C:
Setter inn i generell løsning:
[tex]$${a_0} = C{3^0} - 2 \cdot 0 - 3$$[/tex]
[tex]$${a_0} = C \cdot 1 - 3$$[/tex]
Setter inn kjent verdi for [tex]a_0[/tex]:
[tex]$$C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4$$[/tex]
Endelig generelle løsning blir:
[tex]$$\underline{\underline {{a_n} = 4 \cdot {3^n} - 2n - 3}} $$[/tex]
FASIT: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... 280%29%3D1 (kopier hele linken)
* & **:
![Bilde](http://i576.photobucket.com/albums/ss207/kiellandd/33-4.png)
Kilde: Formelsamlingen min
*: Gjaldt ikke i denne oppgaven, men veldig viktig å huske på da det kan føre til mye bortkasted tid på eksamen.
Håper jeg hadde riktig i begynnelsen av oppgaven at du skrev feil!
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
-
- Ramanujan
- Innlegg: 285
- Registrert: 29/08-2010 16:29
- Sted: Bergen
Hei Rasmus!
Tusen takk for svaret!
Dessverre er jeg redd oppgaven er riktig skrevet av..har du heftet til Amir? Dette er oppgave 6.3 e) på side 121 ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Tusen takk for svaret!
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Har også lagt ut en oppgave her som kan være nyttig hvis du får noe lignende en gang:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=33375
I tillegg vil ser du sikkert at på den første oppgaven du spurte om:
[tex]$${a_n} = 3{a_{n - 1}} + 7$$[/tex]
Eller: [tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 7$$[/tex]
Karakteristisk ligning:
[tex]$$\lambda - 3 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]
Homogene løsning:
[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex]
Her bruker jeg også formelarket rett ut.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=33375
I tillegg vil ser du sikkert at på den første oppgaven du spurte om:
[tex]$${a_n} = 3{a_{n - 1}} + 7$$[/tex]
Eller: [tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 7$$[/tex]
Karakteristisk ligning:
[tex]$$\lambda - 3 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]
Homogene løsning:
[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex]
Her bruker jeg også formelarket rett ut.
Bygg.ing @ Hib - 2 året.