Konveks og konkav

[Tonyy]

Gitt funksjonen:

f (x) = |x| · (a + x) eller ax+x^2

Avgjør hvor f er konveks og konkav?

Noen som har tips?

[Vektormannen]

Den dobbeltderiverte forteller noe om hvor funksjonen er konveks og konkav. Husker du hvordan du fant ut av det?

Dette er en funksjon du har jobbet med før (i en tidligere tråd), så jeg antar du kan finne den dobbeltderiverte?

[Tonyy]

Den deriverte blir f´(x)=2x+a. Den dobbeltderiverte blir vel f´´(x)=2 tenker jeg. I denne oppgaven er a et reelt tall. Har jeg funnet den dobbeltderiverte riktig eller den feil?

Ja jeg har jobbet med samme oppgave før, men fikk ikke full poengutdeling pga noen feil:(

[Vektormannen]

Det er ikke helt riktig. Prøv å lese gjennom det vi diskuterte her. For det første er ikke [tex]f(x) = ax+x^2[/tex]. Det gjelder bare for [tex]x \geq 0[/tex]. For [tex]x < 0[/tex] har vi at [tex]f(x) = -x(a+x) = -ax-x^2[/tex]. Da vil vi få to forskjellige uttrykk for [tex]f^\prime[/tex] og to forskjellige uttrykk for [tex]f^{\prime \prime[/tex] også. Er du med på det?

[Tonyy]

Jepp jeg er med på det.. Men selv om vi har to forskjellige uttrykk av den
f´(x) så vil jeg få samme punktene nemlig, x=-a/2 og x=0. Jeg vet også at for å finne hvor funksjonen er konkav og konveks så må jeg dobbelderivere den. Hvis jeg gjør det så får jeg en negativ og en positiv funksjon? Men hvordan går jeg videre frem for å finne hvor f er konveks og konkav?

[Vektormannen]

Grafen er konveks der den dobbeltderiverte er positiv, og konkav der den dobbeltderiverte er negativ.

[Tonyy]

Takk for massiv hjelp fra deg:) Ha en fink kveld videre..

[dan]

Vel, den dobbeltderiverte til funksjonen din er ikke definert i 0, men for alle x < 0 er f''(x) = -2 og f(x) < 0. For all x>0 er f''(x) = 2, og f(x) > 0.

Dette antar jeg vi kan tolke som at f er konkav i (-inf, 0] og konveks i [0, inf), altså med 0 inkludert som endepunkt.

[Vektormannen]

Jeg er enig i de intervallene. (Men jeg er ikke enig i at for x < 0 så er f(x) < 0 (når a e forskjellig fra 0), men jeg ser heller ikke helt hvorfor det er relevant.)

[dan]

Det gikk litt fort vektor Du har helt rett.

Grunnen til at jeg poengterte det, er den intuitive definisjonen av konveksitet hvor man trekker en linje mellom funksjonsverdiene til ytterpunktene av intervallet, og ser om punktene ligger over, under eller på linjen. Dersom f var konkav på hele (-inf, 0), og 0 var større punktene som lå nært (for negative verdier), kunne man si se at f også var konkav i endepunktet

[Vektormannen]

Ja, jeg tenkte det var det du mente. (Man kan vel alltid la intervallet være lukket (så lenge funksjonen er definert der)? Om man kan trekke en linje fra så nærme endepunktet man vil, må man vel også kunne gjør det fra endepunktet uten at det endrer konkaviteten?)

(Nå kommer jo dette selvfølgelig an på hvordan man definerer konveks/konkav, men det er vel bare i VGS man tar den dobbeltderivertes fortegn som en definisjon av konkav/konveks )

[dan]

Jeg er forsåvidt enig med deg, men jeg vet ikke om det gjelder helt generelt. Det kan jo tenkes at man har en funksjon som er definert helt off the charts i 0, og dermed ikke lenger er konkav/konveks hvis man inkluderer endepunktet?

[Lord X]

Men viss funksjonen er kontinuerleg kan den ikkje vere "heilt off the charts"

[dan]

Nei, ikke i dette tilfellet nei, siden vi vet hvordan funksjonen er definert. Men jeg synes det er ok å prøve å generalisere litt. Men som sagt, som sagt.. Jeg bommet litt på den første posten min, siden jeg ikke så så nøye på funksjonen.

[Lord X]

Nei, ikke i dette tilfellet nei, siden vi vet hvordan funksjonen er definert. Men jeg synes det er ok å prøve å generalisere litt.

Heilt enig, generalisering er bra. Men i dei fleste typiske oppgåvene er vel funksjonen kontinuerleg også i punkta der han ikkje er deriverbar, og då kan ein inkludere endepunktet utan å endre konveksiteten/konkaviteten. Eg antar i alle fall at ein ganske lett kan vise dette ved hjelp av eit [tex]\epsilon[/tex]-argument.

Dersom funksjonen ikkje er kontinuerleg, er saka sjølvsagt annleis!