Derivasjon

[Petronella]

Er det noen som kan hjelpe meg med å derivere noen funksjoner?
F(x)= (2x^3 - 2x)/(x^2-5)
Stemmer det at det blir f'(x)= (2x^4-28x^2+10)/((x^2-5)^2) ????

[Petronella]

Hva blir den partifelle deriverte og dobbelt deriverte til
F(x,y)= 2x^3+x^2y-4xy+x

[Janhaa]

første post ser rett ut

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 5%29%29%27

====

andre post:

[tex]F_x^,=8x^2+2xy-4y+1[/tex]
og
[tex]F_y^,=x^2-4x[/tex]

[Petronella]

Den partiet deriverte og dobbelt deriverte tilf(x,y)= 2x^3+x^2y-4xy+x

F'x(x,y)= 6x^2+2xy-4y+1
F'y(x,y)= x^2-4y

F''xx(x,y)= 12x+2y
F''yy(x,y)= 0

F''xy(x,y)= aner ikke
Noen tips??

Og er de øverste riktige?

[Lord X]

F''yy(x,y)= 0

Ettersom uttrykket du skal derivere mhp. y er [tex]x^2-4y[/tex], blir vel dette -4?

Dei andre ser ok ut.

Når det gjeld [tex]F_{xy}(x,y)[/tex] og [tex]F_{yx}(x,y)[/tex], så blir det å derivere først med hensyn på x og deretter y (i første tillfellet) eller først mhp. y og deretter mhp. x (andre tilfellet).

Derivererer vi f.eks. [tex]F_{y}(x,y)[/tex] med hensyn på x får vi:

[tex]F_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2-4y)=2x[/tex]

Eg er ikkje heilt vant med notasjonen du bruker. Er det slik det står i boka du bruker? (eg tenker primært på bruken av [tex]F^{\prime}_{xx}[/tex] i staden for berre [tex]F_{xx}[/tex]).

[Petronella]

Ja, det er slik det står i boken.
Hvordan kan jeg finne den deriverte
F''xy(x,y)

[Lord X]

Leste du det eg skreiv i forrige post?

[Petronella]

Ja jeg leste innlegget ditt, men skjønte ikke helt hva du mente.
kan du prøve å forklare det en gang til?

[Lord X]

Ah, eg ser nå at det du skreiv tidligare var riktig, dvs. at [tex]F^{\prime\prime}_{yy}(x,y)=0[/tex], men det står feil i uttrykket for [tex]F^{\prime}_{y}(x,y)=x^2-4x[/tex] (du har skrive y her, og då blir svaret -4 om vi deriverer ein gong til mhp. y).

Altså, for å ta ting fra begynnelsen, har vi:

[tex]F^{\prime}_{x}(x,y)=6x^2+2xy-4y+1[/tex]
[tex]F^{\prime}_{y}(x,y)=x^2-4x[/tex]

Dersom du skal regne ut [tex]F^{\prime\prime}_{xy}(x,y)[/tex] må du derivere F først med hensyn på x og deretter med hensyn på y. Dvs. du må derivere [tex]F^{\prime}_{x}(x,y)[/tex] med hensyn på y.

Vi får:

[tex]F^{\prime\prime}_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial{y}}(6x^2+2xy-4y+1)=2x-4[/tex]

Ettersom vi brukte feil verdi for [tex]F^{\prime}_{y}(x,y)[/tex], må vi også rekne ut [tex]F^{\prime\prime}_{yx}(x,y)[/tex] på nytt. Dette blir å derivere først med hensyn på y og deretter mhp. på x, dvs. vi får:

[tex]F^{\prime\prime}_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2-4x)=2x-4[/tex]

Vi ser vi får same svar som for [tex]F^{\prime\prime}_{xy}[/tex]!

[Petronella]

Kan det stemme at de blir like?

Hva gjør jeg når jeg skal finne eventuelle stasjonære punkter til f(x,y)?

[Janhaa]

Kan det stemme at de blir like?
Hva gjør jeg når jeg skal finne eventuelle stasjonære punkter til f(x,y)?

[tex]F_{xy}" =F_{yx}"[/tex]

alltid

[Lord X]

Strengt tatt er det ikkje alltid sant, men for alle tilstrekkelig "pene" funksjonar er det det! (så i praksis kan du nok anta at dei alltid er like)

Dei stasjonære punkta er der dei førsteordens partiellderiverte er lik null, dvs. i ditt tilfelle punkta (x,y) slik at:

[tex]6x^2+2xy-4y+1=0[/tex]

og

[tex]x^2-4x=0[/tex]

[Petronella]

Da finner jeg videre x1 ved å løse likningen x^2 -4=0
Ergo x1=4 og x2=0
Deretter y1=-24,25 og y2=0,25
Z1=132 og z2= 0

Stemmer det?

[Petronella]

En ting til,
Du skrev ingenting om f''xx(x,y)= 12x +2y
Stemmer den?

[Lord X]

Da finner jeg videre x1 ved å løse likningen x^2 -4=0
Ergo x1=4 og x2=0
Deretter y1=-24,25 og y2=0,25
Z1=132 og z2= 0

Stemmer det?

Det meiner vel [tex]x^2-4x=0[/tex] her?

Ellers ser det ut til at du har rekna rett!

Du skrev ingenting om f''xx(x,y)= 12x +2y
Stemmer den?

Ja!