Optimaliser integralet ved bruk av lineær algebra

[Nebuchadnezzar]

Jeg har følgende integral, som jeg ønsker å minimalisere

[tex]I \, = \, \int_0^1 \left| t^4 - a - bt \right|^2\mathrm{d}t[/tex]

ved bruk av lineær algebra. Fra før ser jeg allerede at jeg bare kan løse likningsettet

[tex]\frac{\partial }{\partial a} I = 0 [/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial b} I = 0 [/tex]

Som spytter ut løsningene [tex]a = - \frac{1}{5}[/tex] og [tex]b = \frac{4}{5}[/tex]. Men dette er jo ikke noe gøy, eller hür?

Det virker som på meg at en skal minimalisere avstanden fra funksjonen [tex]t^4[/tex] ned på funksjonsrommet, som består av alle funksjoner på formen [tex]a + bt[/tex]. Altså alle rette linjer i [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Ser og at I danner et indreprodukt på funksjonsrommet. Men tja, hvordan kal jeg fortsette?

Må jeg jeg finne en projeksjon fra [tex]t^4[/tex] ned på [tex]a + bt[/tex], ved hjelp av gram-schmidt?

[Gustav]

Du må projisere vektoren [tex]t^4[/tex] ned på underrommet av polynomer av grad 1 med basis {1,t}, ja. På den måten finner du den korteste avstanden mellom vektoren og underrommet, som er ekvivalent med å minimere [tex]||t^4 - a+bt||[/tex] der normen er indusert fra et indreprodukt definert ved [tex]<f,g>=\int_0^1 f\bar{g}\,dt[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Så da bruker jeg bare at

[tex]\text{proj}_u \, = \, \frac{\langle u , a \rangle}{\langle a ,a\rangle } \cdot a[/tex]

Hvor [tex]u = t^4[/tex] og [tex]a = a + bt [/tex]?

[Gustav]

Ikke helt.

Jeg kan si så mye som at en mulig ortonormal basis for (underrommet) av polynomer av grad 1 eller mindre er de to basisvektorene [tex]e_1 = 1[/tex] og [tex]e_2 = 2\sqrt{3}t - \sqrt{3}[/tex].

Denne kan du finne ved å først definere første basisvektor som 1, og deretter ortogonalisere vektoren t ved å trekke fra projeksjonen av den ned på 1. Husk også å normalisere den tilslutt.

Nå har du to ortonormale basisvektorer for underrommet, [tex]e_1[/tex] og [tex]e_2[/tex].

Til slutt må du finne projeksjonen av [tex]t^4[/tex] ned på denne basisen, altså

[tex]<t^4,e_1>e_1+<t^4,e_2>e_2[/tex]. Denne vektoren (eller polynomet om du vil) er da det elementet a+bt i underrommet som minimerer ||t^4-(a+bt)||