Det er flere måter å gjøre delbrøkoppspalting på, de de letteste uttrykkene er nok trikset å legge til 0 i teller og faktorisere.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=28110
http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... ction.html
Står litt her under brøkregning =) Kort sagt
1.) Se først om du har noen enkle nevnere, eller de tellerene av høyest grad.
Så her ser vi at den eneste enkle telleren vi har er [tex]x+1[/tex].
Hadde vi for eksempel hatt [tex]A/(x+1) + B/(x+1)^2[/tex]. Så ville vi bare brukt B/(x+1)^2, fordi den har høyest
grad.
2.) Definer så en funksjon som er
[tex]\varphi(x) = f(x) - \text{delbr{\o}koppspaltingen}[/tex]
I vårt tilfelle blir dette
[tex]\varphi(x) = \frac{4x^2 +5x + 6}{(x+1)(x^2+1)} - \frac{A}{x+1} - \frac{Bx + C}{x^2+1}[/tex]
3.) Regn så ut
[tex]\lim_{x\to a} (x-a) \varphi(x)[/tex]
Altså gang funksjonen med en av de enkle tellerene og ta grenseverdien.
Grenseverdien blir nullpunktet til nevneren. I vårt tilfelle har vi bare en, som gir oss
[tex]\lim_{x\to -1} (x+1) \varphi(x) = \lim_{x\to -1} \frac{4x^2+5x+6}{x^2+1} - A - (x+1)\frac{Bx+C}{x^2+1} = \frac{4 - 5 + 6}{1 + 1} - A - 0[/tex]
Som gir oss direkte at [tex]A = 5/2[/tex]. Denne teknikken fungerer ikke for [tex]x^2+1[/tex], fordi den ikke er enkel, altså den ikke har noen nullpunkter. Det vi gjør for å regne ut [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex], er å først sette inn verdien vi fant for A. Også bare sette inn to [tex]x[/tex]-verdier, og løse likningsettet.
Det enkleste blir for eksempel å løse likningsettet
[tex]\varphi(0) = 0[/tex]
[tex]\varphi(1) = 0[/tex]
Grunnen til at vi trenger to verdier, er fordi vi har to ukjente.
I korte ord, kan vi alltid regne ut de enkle nevnerene av høyest grad, med metoden ovenfor. Har vi ikke enkle nevnere, sparer vi disse til slutt, og bruker likningsett til å finne disse.
Det skal og nevnes at systemet ovenfor, og kunne blitt løst ved hjelp av gaus-jordan. Men på såpass enkle oppspaltinger blir det å skyte spurv med kanon ^^
