Rasjonal fakultet?

[Hoksalon]

Hei, jeg kom over en oppgave der jeg kanskje kunne hatt bruk for å sette inn (n/2) i den sentrale binomialkoeffisienten. Den er slik:

[tex]{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}[/tex]

Om jeg setter inn n/2 får jeg dette:

[tex]{n \choose \frac{n}{2}} = \frac{n!}{(\frac{n}{2})!}[/tex]

Nå gir kalkulatoren min at dette ikke er mulig, men det tviler jeg på siden gammafunksjonen er slik den er. Dessuten mener jeg å ha sett en oppgave tidligere som har benyttet rasjonale binomialkoeffisienter, men jeg husker ikke fremangsmåten. Noen som kan hjelpe meg med denne?

[Gustav]

Du kan jo utvide domenet til fakultetsfunksjonen, men det vil jo gå på bekostning av tolkningen av binomialkoeffisienten (antall måter å plukke ut n antall elementer fra en mengde av 2n elementer).

Dersom n er like vil det ikke blir noe problem uansett.

Dersom n er odde definerer man [tex](\frac{n}{2})! = \Gamma ( \frac{n}{2}+1)=\Gamma (\frac{2+n}{2})[/tex] der

[tex]\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}[/tex] og funksjonen skal i tillegg tilfredsstille [tex]\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)[/tex]. (så [tex](\frac{n}{2})![/tex] blir veldefinert for alle heltall n)

Eksempel:



EDIT: [tex]{1 \choose \frac12 } = \frac{1!}{(\frac{1}{2})!^2}= \frac{4}{\pi}[/tex]

[tex](\frac{1}{2})!=\Gamma(\frac12+1)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac12*\sqrt{\pi}[/tex]

[Hoksalon]

Jeg skrev for øvrig feil i det nederste uttrykket mitt. Jeg går utifra at eksempelet ditt skal være:

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac2\pi[/tex]

EDIT: Nei, nå datt jeg ut.

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac{1!}{\frac12!^2} = \frac{1}{\pi}[/tex]

[Gustav]

Jeg skrev for øvrig feil i det nederste uttrykket mitt. Jeg går utifra at eksempelet ditt skal være:

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac2\pi[/tex]

EDIT: Nei, nå datt jeg ut.

[tex]{1 \choose \frac12} = \frac{1!}{\frac12!^2} = \frac{1}{\pi}[/tex]

Endret forrige post

[Hoksalon]

Takk. Jeg fikk ikke bruk for selve gammafunksjonen i løsningsforslaget mitt, men det var nødvendig for at notasjonen skulle bli korrekt.

Oppgaven siste oppgave fra NMC 2012: Tallet 1 skrives opp på tavlen. Deretter dannes en tallfølge slik: ved hvert trinn erstattes hvert tall a på tavlen med a−1 og a+1; dersom tallet 0 dukker opp, viskes det ut umiddelbart; om et tall forekommer flere ganger, beholdes alle eksemplarer på tavlen. Det betyr at etter 0 trinn står det 1; etter ett trinn står det 2; etter to trinn står det 1, 3; etter tre trinn står det 2, 2, 4, og så videre. Hvor mange tall står på tavlen etter n trinn?

Her fant jeg sekvensen 1,1,2,3,6,10,20,35,70,126,252,462,924, og jeg måtte jukse og sjekke opp sekvensen for å merke meg at annenhvert ledd er det midterste leddet i Pascals trekant (den sentrale binomialkoeffisienten). Videre ser vi at de andre tallene i rekken er halvparten av disse tallene i den sentrale binomialkoeffisienten (du finner de også i Pascals trekant). Jeg kan derimot ikke benytte binomialkoeffisienten slik den normalt framstiles, siden det vil bare vise halvparten av rekken. Jeg kom deretter fram til følgende sekvens:


[tex]x_n = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(\frac{n+2}{2})^2}\cdot (0.5-(0.5)\cdot(-1)^n) + \frac{\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(\frac{n+3}{2})^2}}{2}\cdot(0.5+(-0.5)\cdot(-1)^n[/tex]

Her vil hvert av de to leddene veksle på å bli 0, og begge leddene er basert på den sentrale binomialkoeffisienten (det ville vært enklere å se om det var skrevet uten bruk av gammafunksjonen).

Jeg setter virkelig pris på om du finner en alternativ og bedre formel for det n'te leddet. Jeg har fundert på denne i over et døgn nå, og det må finnes en mye bedre løsning.

Rekken som oppstår: http://imgur.com/Igpbj

EDIT: Og forresten er denne formelen bare basert på en antagelse om at siden de 10 første leddene i Pascals trekant stemmer overens med algoritmen i oppgaven. Har du et tips for hvordan jeg kan bevise at det er samme rekke?