Avstand

[HåpløsSOS]

Hei

Jeg har et plan a hvor P er et punkt. Vektor n er en normalvektor for planet. Videre har vi et punkt Q som ikke ligger i a.

I tillegg til at jeg skal regne ut IQP * nI / InI, skal jeg tegne en figur som viser hva svaret betyr. Etter å ha tegnet planet a, samt punktene P og Q, står jeg fast. Jeg vet jo at utrykket over gir avstanden mellom Q og planet, men hvordan viser jeg dette?

[Vektormannen]

Vi har at $\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{||\overrightarrow{QP}|\cdot |\overrightarrow{n}|\cdot \cos \alpha |}{|\overrightarrow{n}|}=|\overrightarrow{QP}|\cdot |\cos \alpha |$, der $\alpha$ er vinkelen mellom $\overrightarrow{QP}$ og $\overrightarrow{n}$. Er du med på det? Hvis du tenker på en rettvinklet trekant med QP som hypotenus, hvilken katet vil da $|\overrightarrow{QP}|\cdot |\cos \alpha |$ gi?

[HåpløsSOS]

Den korteste kateten i trekanten - som er avstanden fra P til planet.

[HåpløsSOS]

I tillegg har jeg problemer med nok en utledning:

Bruk den trigonometriske formelen cos^2v + sin^2v = 1 til å vise at
x = r cos u * cos v
y = r cos u * sin v
z = sin u

Her vet jeg ikke engang hvor jeg skal begynne.

Har du noen tips til hvordan jeg løser denne oppgaven, Vektormannen?

[Vektormannen]

Er det akkurat slik oppgaven er formulert? Det er jo ikke forklart noe om hva r, u og v er, for eksempel.

Det du har her er vel uansett kulekoordinatene til et punkt P(x,y,z), når vi måler vinkelen u mellom vektoren OP og xy-planet, og vinkelen v mellom projeksjonen av OP i xy-planet og x-aksen. Hvis du tegner opp dette så kan du da se at x, y og z kan beskrives på den måten. Denne figuren kan være til hjelp: link (Her svarer vinkelen $\theta$ til v og $\varphi$ svarer til u men er her vinkelen mellom vektoren og z-aksen i stedet.)

Jeg lurer egentlig litt på hva de i oppgaven egentlig mener at du skal gjøre. Det jeg legger opp til ovenfor vil ikke bruke at ${\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$. Det kan være det er meningen at du skal vise at x, y og z, gitt slik de er, passer inn med at (x,y,z) har avstand r fra origo; altså at du bare skal vise at $x^2+y^2+z^2=r^2$. Som sagt, er det akkurat slik oppgaven er skrevet?

[HåpløsSOS]

Beklager så mye, store deler av oppgaveteksten er visst blitt utelatt. Dette skal være riktig:

Bruk den trigonometriske formelen cos^2v + sin^2v = 1 til å vise at at parameterfremstillingen

x = r cos u * cos v
y = r cos u * sin v
z = sin u

gir likningen x^2 + y^2 + z^2 = 1.

[Vektormannen]

Da tar du og ser hva $x^2+y^2+z^2$ blir da. (Det må være en eller annen opplysning som gir at r = 1, for hvis ikke så vil den summen bli $r^2$ og ikke 1.)

[HåpløsSOS]

Kan jeg få et tips til?

Jeg får r2 * cos^2 u * cos^2 v + r^2 * cos^2 u * sin^2 v + sin^2 u. Hvordan kommer jeg videre? Hadde satt stor pris på nok et hint.

[Vektormannen]

Du kan enten droppe r (siden den tydeligvis er 1), eller så må du ha med r i z-komponenten også (hvis det ikke står z = r sin u så tror jeg det må være en skrivefeil.)

Hvis du ser på $x^2$ og $y^2$ så har du der en felles faktor $r^2$ og ${\cos }^{2}u$. Hva står igjen når du faktoriserer det ut fra de to leddene?

[HåpløsSOS]

Da står jeg igjen med r^2 * cos^2 u + r sin^2 u. Hva gjør jeg med r? Kan jeg sette r = 1 sånn uten videre?

[Vektormannen]

Hva blir $r^2{\cos }^{2}u+r^2{\sin }^{2}u$ da?

Når det gjelder å sette r = 1 så må det som sagt være en eller annen opplysning som enten sier eller impliserer at r = 1 i oppgaven. Du sier jo at du skal vise/komme frem til $x^2+y^2+z^2=1$, men da må r = 1. (Eller har du skrevet feil? )

[HåpløsSOS]

Herregud, nå har jeg skrevet feil igjen. Jeg skal frem til X^2 + Y^2 + z^2 = r^2. Altså er jeg i mål!

Tusen takk for din tålmodighet.