Statistikkproblem

[dana]

Hei. Jeg lurte på om noen kunne hjelpe meg med følgende problemstilling?

I en urne er det to hvite og fem sorte kuler. Det trekkes tre kuler (en etter en) uten tilbakelegging. Det registreres hvilket nummer i rekken den første sorte kommer. La X være dette nummeret. Finn forventningen og standardavviket til X.

Løsningen begynner vel med å finne sannsynlighet for at den sorte kan komme som nr 1,2 eller 3?

[Lord X]

Jepp, først må du regne ut sannsynlighetene [tex]P(X=1)[/tex], [tex]P(X=2)[/tex] og [tex]P(X=3)[/tex].

Deretter kan du bruke dette til å regne ut forventningsverdi og standardavvik (husker du formlene?)

[dana]

Ja,får noen svar men usikker på om det stemmer 100%.
P(X=1) blir 0,1429
P(X=2) blir 0,5714
P(X=3) blir 0,2857

Er formlene for forventningsverdi E(X)=np og varians Var(X)=((N-n)/(N-1))*np(1-p)?

[Lord X]

Er formlene for forventningsverdi E(X)=np og varians Var(X)=((N-n)/(N-1))*np(1-p)?

Dette er formlane som gjeld for såkalte binomiske forsøk, dvs. forsøk der du har den same sannsynligheten p for at noko skal skje kvar gong og der du gjer forsøket n gonger. I denne situasjonen har vi ikkje eit binomisk forsøk, så her må vi bruke den meir generelle definisjonen av forventningsverdi:

[tex]E[X]=\displaystyle\sum_{x} x\cdot{P(X=x)}[/tex]

der vi summerer over heile utfallsrommet dvs. alle moglege verdiar for x.
I dette tilfellet kan x vere 1,2 eller 3, og sannsynlighetene blir:

[tex]P(X=1)=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]P(X=2)=\frac{2}{5}\cdot{\frac{3}{4}}=\frac{3}{10}[/tex]
[tex]P(X=3)=\frac{2}{5}\cdot{\frac{1}{4}}\cdot{\frac{3}{3}}=\frac{1}{10}[/tex]

Ser du kvifor dette blir sannsynlighetene?

Forventningsverdien blir då:

[tex]E[X]=1\cdot{\frac{3}{5}}+2\cdot{\frac{3}{10}}+3\cdot{\frac{1}{10}}=\frac{15}{10}=1.5[/tex]

Standardavviket kan finnast for eksempel ved å bruke fylgjande formel:

[tex]SD(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E[X^2]-(E[X])^2}[/tex]

For å rekne dette må du først finne forventningsverdien til [tex]X^2[/tex] som blir:

[tex]E[X^2]=\displaystyle\sum_{x} x^2\cdot{P(X=x)}=1^2\cdot{\frac{3}{5}}+2^2\cdot{\frac{3}{10}}+3^2\cdot{\frac{1}{10}}=\frac{27}{10}=2.7[/tex]

dvs

[tex]SD(X)=\sqrt{2.7-1.5^2}=\sqrt{0.45}\approx{0.67}[/tex]

Dersom nokon finn feil i utrekningane mine så gjerne påpeik det! Blei gjort litt i farten dette her!

[dana]

Ser ikke helt hvorfor det blir sannsynlighetene for trenger jeg ikke ta med de hvite kulene i det hele tatt eller ser jeg helt bort i fra de siden vi konsentrerer oss om de sorte?

[Lord X]

P(X=1)=sannsynet for at den første kula vi trekker er svart

Ettersom det er 3 svarte og 2 kvite kuler ser vi at vi må ha [tex]P(X=1)=\frac{3}{5}[/tex].

P(X=2)=sannsynet for at vi først trekker ei kvit kule og deretter trekker ei svart kule (dvs. den første svarte kula kjem som nr.2) dvs

[tex]P(X=2)=\frac{2}{5}\cdot{\frac{3}{4}}=\frac{3}{10}[/tex]

Heilt tilsvarande kan vi argumentere med at P(X=3), som er sannsynet for at ei svart kule først kjem opp som nr. 3, er det same som at vi først trekker 2 kvite og deretter ei svart.

Eventuelt kan vi bare bruke at vi må ha

[tex]P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)[/tex]

(sidan X=1, X=2 og X=3 er alle moglegheitene)

Uansett får vi at [tex]P(X=3)=\frac{1}{10}[/tex]

Høyrest det rimelig ut?

[dana]

Hvorfor skal vi konsentrere oss om 5 kuler når det er totalt 7 i bollen? Der mister jeg litt grepet
I P(X=1) så er tallet 3 antall sorte? Og tallet 5 antall kuler i bollen?

[fuglagutt]

Regner med at det bare er en liten typo, skal være 7 Men ellers er argumentene til Lord X helt korrekte!

[Lord X]

Haha, ja det nøyer seg å lese oppgaven skikkelig.

Då får vi:

[tex]P(X=1)=\frac{\text{antall svarte kuler}}{\text{totalt antal kuler}}=\frac{5}{7}[/tex]

Så svaret på spørsmålet er ja!

Videre:

[tex]P(X=2)=\frac{2}{7}\cdot{\frac{5}{6}}=\frac{5}{21}[/tex]

[tex]P(X=3)=1-\frac{5}{7}-\frac{5}{21}=\frac{1}{21}[/tex]

Forhåpentlegvis er dette korrekt.

Så kan du regne ut forventningsverdi og standardavvik ved hjelp av formlane eg brukte ovanfor!