Statistikk

[Husmor]

Er det noen der ute som synes statistikk er gøy, for jeg trnger hjelp til en oppgave.

Tre personer blir bedt om å velge et tall fra mengden {0, 1, 2,....,10}. Den enkeltes
valg antas uavhengig av de andres, og det velges med tilbakelegging.

(c) Anta at sannsynligheten for at tallet 7 velges er dobbelt så stor som for hvert enkelt av de øvrige ti tallene. Bestem nå sannsynligheten for at minst to av personene velger samme tall.

[Lord X]

Det du i alle fall kan begynne med er å merke at sannsynet for at minst to skal velge same tal er lik 1 minus sannsynligheten for at ingen velger same tal (er du med på det?)

Ut i frå opplysningane i teksten har vi at sannsynligheten for å velge 7 er $\frac{1}{6}$, mens sannsynligheten for å velge dei øvrige tala er $\frac{1}{12}$.

Årsak:

Dersom sannsynet for å velge eit av tala ulik sju er x veit vi at sannsynet for å velge 7 er 2x, og totalt sett skal vi få 1 dersom vi adderer opp alle sannsyna for alle moglegheitene dvs. vi får likninga 10x+2x=1 som gir $x=\frac{1}{12}$ (og dermed $2x=\frac{1}{6}$).

(eg forstod i alle fall oppgåva slik at sannsynet for å velge dei andre tala alle var like?)

Vi vil altså på bakgrunn av desse opplysningane rekne ut:

$P(\text{minst to personar velger same tal})=1-P(\text{ingen velger same tal})$

Dersom vi lar A betegne hendelsen "ingen velger same tal" må vi altså først rekne ut $P(A)$, og her trur eg det kan vere lurt å dele inn i to undertilfeller:

1) dersom 1 av dei 3 velger talet 7
2) dersom ingen av dei velger talet 7

(Kanskje vi kan bruke loven om total sannsynlighet her?)

Eg rekker desverre ikkje svare meir akkurat nå, for er litt i farta.

[Husmor]

Ja så langt kom jeg å, men deretter ble det full stopp.

Har litt problemer med å plasere type fordeling.
Trur det er hypergeometrisk, men hvordan får jeg inn begge sansynlighetene?

[Lord X]

Det er lenge sidan eg har holdt på med slike ting, men kanskje vi kan tenke som følger (finst sikkert andre måter også).

Dersom vi lar A vere hendinga "ingen velger like tal" kan dette skje på to vis: enten så vil ingen av dei velge talet 7 eller så vil nøyaktig 1 av dei gjere det (i tillegg til at dei velger ulike tal).

La B vere hendinga "ingen velger talet 7".
La C vere hendinga "nøyaktig 1 velger talet 7"

Då har vi at:

$A\cap B$ og $A\cap C$ er disjunkte hendingar som til saman utgjer A. Ergo fylgjer det at:

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap C)=P(A|B)\cdot P(B)+P(A|C)\cdot P(C)$

La oss først rekne ut P(B) og P(C). Her kan vi betrakte det om ein person velger 7 eller ikkje som eit binomisk forsøk med sannsyn lik ein sjettedel (pga. uavhengighet etc.). Altså får vi:

$P(B)=P(\text{ingen velger talet 7})=(\frac{5}{6}{)}^3$

$P(C)=P(\text{noeyaktig 1 velger talet 7})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\cdot \frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{6}{)}^2$

Videre har vi at

$P(A|B)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit ingen velger 7})$

dvs.

$P(A|B)=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{{10}^3}=0.72$

(her bruker vi at det er like stor sjanse å gjette kvar av tala utanom 7)

[tex]P(A|C)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit noeyaktig ein av dei velger 7)[/tex]

dvs.

$P(A|C)=\frac{10\cdot 9}{{10}^2}=0.9$

Til sjuande og sist får vi altså:

$P(A)=0.72\cdot \frac{125}{216}+0.9\cdot \frac{75}{216}\approx 0.7292$

dvs.

$1-P(A)\approx 0.271$

Sannsynet for at minst to av dei velger same tal er altså ca. 27 prosent.

Har du tilgang til fasit, og er i så fall dette riktig svar?

[spelevinken]

Det er riktig det! 27% =)

[Husmor]

Hei
Har ikke fasit, siden det er et delspørsmål i ett prosjekt.

Men sier tusen takk, det gikk opp et lys nå.

[spelevinken]

Hei
Har ikke fasit, siden det er et delspørsmål i ett prosjekt.

Men sier tusen takk, det gikk opp et lys nå.

Hei, jeg tror vi er på samme prosjekt. Har du svaret på de to siste oppgavene`?