Grenseverdi

[Nibiru]

Kan noen forklare meg fremgangmåte for å bestemme grenseverdiene til disse uttrykkene:
a) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{x}[/tex]

b) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x}[/tex]

Jeg vet at det har noe med beviset for derivasjonen av sinus å gjøre, men jeg har ikke helt forstått den ennå. Hvordan skal jeg tenke her?

[MrHomme]

Kanskje bruke L'Hôpital her?



[tex]\lim_{x \to 0}[/tex][tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex][tex]=[/tex][tex]\lim_{x \to 0}[/tex][tex]\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}[/tex]

[fuglagutt]

det er vel heller skviseprinsippet som blir brukt på vgs da l'hopital først blir introdusert på universitet(dog, burde det blir brukt på vgs!), så da må du finne to andre uttrykk som er større og mindre enn det du vil finne grensen til, og som har samme grense. Du kan google sin(x)/x limit for å få noen idéer

[Vektormannen]

Verken L'Hopital eller skviseteoremet er nevnt i verken læreplaner eller lærebøker på VGS, men de kan jo selvsagt være nyttige å lære seg.

Når det gjelder disse to grensene så er det ingen metoder man lærer på VGS som vil gjøre en i stand til å løse slike grenser generelt. Det man lærer er vel stort sett å faktorisere felles faktorer og det er det. Når det er sagt så nevner Nibiru at de har noe med beviset av derivasjonsreglene for sinus å gjøre, så jeg antar at i det kapittelet hvor de tar for seg det, så benytter de blant annet at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex]. Det er en velkjent grenseverdi som trengs for å gjøre det. Grenseverdien i a) kan med litt triksing omformes til noe som inneholder den grenseverdien. Det kan gjøres på flere måter. De to jeg kommer på i farten er å enten benytte at [tex]\sin(2x) = 2 \sin x \cos x[/tex] eller å innføre [tex]u = 2x[/tex].

I b) er det nok også flere veier i mål, men her kan man f.eks. bruke at [tex]\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x[/tex], som her gir [tex]\cos x = 1 - 2 \sin^2 (x/2)[/tex], og arbeide seg frem til noe som bl.a. involverer den kjente [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex].

[Nibiru]

Takk for hjelpen. Ved å bruke L'Hopital så får jeg svaret rett fram. Denne metoden er forståelig og jeg bør kunne den. Jeg ser også at WolframAlpha bruke L'Hopital når den skal løse slike grenseverdiene. Blir det slik da:

a) [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{2cos2x}{1}=\lim_{x \to 0} 2*1=2[/tex]

b)[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{1}=\frac{0}{1}=0[/tex]

Veldig fin metode må jeg si .

Takk også til deg Vektormannen for en skikkelig god forklaring. Jeg skjønner tankegangen din. Men jeg tror det er ikke lurt å gjøre det vanskeligere hvis du kjenner L'Hopital. Hvis jeg prøver på måten du foreslår, blir det slik da?

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{2sinxcosx}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{2sinx}{x}*cosx=\lim_{x \to 0}2*1*1=2[/tex]

Det blir litt mer skriving på b) men det er jo samme framgangsmåten.

[Andreas345]

Stemmer. Dette er fordi at generelt så er :

[tex]\lim_{x \to a} \ f(x)\cdot g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Kremt, nei. Velg for eksempel [tex]g(x) = 1/x[/tex] , [tex]f(x) = \sin(x)[/tex] og [tex]a=0[/tex].

Det stemme hvis og bare hvis både [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er kontinuerlige og bundet på et lite omhegn omkring [tex]a[/tex].

[Andreas345]

Burde vel ha skrevet at begge grenseverdiene må eksistere da. Hvis vi skal pirke.

[Vektormannen]

Kremt, nei. Velg for eksempel [tex]g(x) = 1/x[/tex] , [tex]f(x) = \sin(x)[/tex] og [tex]a=0[/tex].

Det stemme hvis og bare hvis både [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er kontinuerlige og bundet på et lite omhegn omkring [tex]a[/tex].

Hvis og bare hvis er da en drøy påstand . Kravet er at både [tex]\lim_{x \to a} f(x)[/tex] og [tex]\lim_{x \to a} g(x)[/tex] eksisterer. Så lenge det er oppfylt (det har ikke nødvendigvis noe med kontinuitet å gjøre) så vil [tex]\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)[/tex]. Det selvfølgelig slik at hvis f og g er kontinuerlige, så stemmer det. Men det er ikke bare hvis f og g er kontinuerlige.

EDIT: Sitering.

EDIT 2: Grensen av produktet blir ikke 0 nei

[Nebuchadnezzar]

La du merke til delen et lite omhegn omkring [tex]a[/tex]?
Her ligger det indirekte et epsilon, delta argument. At hvis du går nærme nok inn på grensen, i et lite nok intervall omkring a ([tex]x \in (-\epsilon,\epsilon)[/tex] så må funksjonene være veldefinerte (kontinuerlige og bundede)

er dette feil? Jeg mener ikke at de må være kontinuerlige overalt, bare at om du går nærme nok på så stemmer det.

EDIT:

Indikator funksjonen på [tex]\mathbb{Q}[/tex] funker vel?

[tex]f(x) = \left\{ \begin{array}{cccl} 0 & \text{if} & x & \text{er rasjonell} \\ x & \text{if} & x & \text{er irrasjonell} \end{array} \right. [/tex]

Er vel kanskje et fint mot eksempel ; )

[Vektormannen]

Akkurat hva er det et motargument mot? Den funksjonen er verken kontinuerlig eller har eksisterende grenseverdier i noe punkt.

EDIT: du endret funksjon Den funksjonen du nevner her vil jo være et moteksempel på din påstand ja.

Du mener altså at eksistensen av en grenseverdi i x = a er ekvivalent med at det finnes et intervall rundt x = a der funksjonen er begrenset og kontinuerlig. Hvis det skal være tilfelle må det ene implisere det andre og omvendt.

Et moteksempel på din påstand vil da være [tex]f(x) = \sin(1/x)[/tex]. Denne funksjonen er kontinuerlig og begrenset, men i [tex]\lim_{x \to 0} f(x)[/tex] eksisterer ikke.