Taylorrekker

[Rolf1]

Noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?

[Bakeren]

Hva får du hvis du finner taylorrekken til sin(x) og setter den inn i uttrykket ditt?

[Bakeren]

Hva får du hvis du finner taylorrekken til sin(x) og setter den inn i uttrykket ditt?

[Rolf1]

Åja, så det er det som er greia? Altså at x i telleren og x^3 i nevneren blir til 0? også kan jeg bare bruke taylorrekken til sin(x) som svar?

[Bakeren]

Nei, se her:
$$\begin{gathered} \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-... \\ f(x)=\frac{x-\sin x}{x^3} \\ f(x)=\frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)}{x^3} \end{gathered}$$

Hva blir rekken da?

[Rolf1]

Rekken blir vel konvergent?

[Andreas345]

?? Du skal finne for hvilken x rekken konvergerer.

Når man kommer til sånne oppgaver pleier vi å benytte oss av kjente rekker for å komme fram til svaret.

Slik som Bakeren sa, så har vi at:$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Da vil:

$-\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$x-\sin x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Er du med på det? Følgende blir:

$\frac{x-\sin (x)}{x^3}=\frac{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x^3}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot x^{2n-2}}{(2n+1)!}$

[Rolf1]

Hvordan finner du dette:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

[Andreas345]

Ved å bruke formelen for en taylor rekke om 0

$f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}\cdot x+\frac{f\prime \prime (0)}{2!}\cdot x^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}\cdot x^3+\cdots$

$sin(0)+cos(0)\cdot x-\frac{sin(0)}{2!}\cdot x^2-\frac{cos(0)}{3!}\cdot x^3$

$x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$

Ser dermed at: $\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Edit: Fant et youtube klipp som forklarte det greit
http://www.youtube.com/watch?v=dp2ovDuWhro

[Rolf1]

Ah. Takk!