Sitter med flervariabelfunksjonen:
[tex]f(x,y)=x^{3}-3x^{2}- \frac {3}{2} xy^{2}+y^{3}[/tex]
Har funnet de første og andre ordens deriverte:
[tex]f_{x}=3x^{2}-6x- \frac{3}{2}y^{2}[/tex]
[tex]f_{xx}=6x-6[/tex]
[tex]f_{xy}=-3y[/tex]
[tex]f_{y}=3y^{2}-3xy[/tex]
[tex]f_{yy}=6y-3[/tex]
Så skal jeg, som overskriften sier, finne og klassifisere stasjonære punkt.
Da har man jo alternativ minimums-, maksimums- eller sadelpunkt.
I læreboken min ser det ut til at å bruke en 2. derivert test som benytter determinanten til Hessematrisen er en grei fremgangsmåte.
Det jeg lurer på er, hvilke verdier er det man skal putte inn i determinanten, man skal jo avgjøre om denne gir
[tex]f_{xx}>0[/tex]
[tex]f_{xx}<0[/tex]
[tex]f_{xx}=0[/tex]
Løser man ligningssett for å finne verdier for fxx og fyy for så å putte disse inn?
Finne og klassifisere stasjonære pkt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Ja, hvis jeg tolker deg rett. Du må først finne de stasjonære punktene, og så kan du bruke andrederiverttesten til å klassifisere dem. Stasjonære punkter har vi når de deriverte er 0 samtidig. Du må altså finne de punktene (x,y) som løser [tex]f_x(x,y) = 0[/tex] og [tex]f_y(x,y) = 0[/tex], og så finner du de tilhørende verdiene for de dobbeltderiverte og finner determinanten av Hessematrisen.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Ramanujan
- Innlegg: 285
- Registrert: 29/08-2010 16:29
- Sted: Bergen
Tusen takk for svar, da skal jeg prøve det!:)
Stasjonære punkt (setter disse lik null:
(a) [tex]$${f_x} = 0$$[/tex]
(b) [tex]$${f_y} = 0$$[/tex]
Altså vi har to ligninger:
(a) [tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{y^2} = 0$$[/tex]
(b) [tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]
Bruker innsettingsmetoden og velger å se på linging b:
[tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]
[tex]$$3y\left( { - x + y} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$y = 0,\;y = x$$[/tex]
Dette setter vi inn i ligning a for å få ut x-er og y-er:
Først setter jeg inn [tex]y=0[/tex]:
[tex]$$3{x^2} - 6x = 0$$[/tex] (leddet forsvant)
[tex]$$3x\left( {x - 2} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$x = 0,\;x = 2$$[/tex]
Dette gir oss følgende stasjonære punkt:
[tex]$$\underline{\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {2,0} \right)}} $$[/tex]
Så gjør jeg det samme for [tex]y=x[/tex]:
[tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{x^2} = 0$$[/tex] (her valgte jeg å sette inn x for y, kunne like gjerne satt inn y for x)
[tex]$$3x\left( {{1 \over 2}x - 2} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$x = 0,\;x = 4$$[/tex]
Her er jo [tex]y=x[/tex] og vi får derfor: [tex]$$\underline {\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {4,4} \right)} } $$[/tex]
(a) [tex]$${f_x} = 0$$[/tex]
(b) [tex]$${f_y} = 0$$[/tex]
Altså vi har to ligninger:
(a) [tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{y^2} = 0$$[/tex]
(b) [tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]
Bruker innsettingsmetoden og velger å se på linging b:
[tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]
[tex]$$3y\left( { - x + y} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$y = 0,\;y = x$$[/tex]
Dette setter vi inn i ligning a for å få ut x-er og y-er:
Først setter jeg inn [tex]y=0[/tex]:
[tex]$$3{x^2} - 6x = 0$$[/tex] (leddet forsvant)
[tex]$$3x\left( {x - 2} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$x = 0,\;x = 2$$[/tex]
Dette gir oss følgende stasjonære punkt:
[tex]$$\underline{\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {2,0} \right)}} $$[/tex]
Så gjør jeg det samme for [tex]y=x[/tex]:
[tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{x^2} = 0$$[/tex] (her valgte jeg å sette inn x for y, kunne like gjerne satt inn y for x)
[tex]$$3x\left( {{1 \over 2}x - 2} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$x = 0,\;x = 4$$[/tex]
Her er jo [tex]y=x[/tex] og vi får derfor: [tex]$$\underline {\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {4,4} \right)} } $$[/tex]
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Klassifisering av punktene:
Nå trenger vi å regne ut [tex]$${f_{xx}},{f_{yy}},{f_{xy}},{f_{yx}}$$[/tex]:
[tex]$${f_{xx}} \;= 6x - 6$$[/tex]
[tex]$${f_{yy}} = - 3x + 6y$$[/tex]
[tex]$${f_{xy}} = {f_{yx}} = - 3y$$[/tex] (dette er visst ingen tilfeldighet og du vil oppleve at det ofte om ikke "nesten alltid" er slik. Jeg vet ikke hvorfor)
Nå er vi klare til å sette opp hessematrisa:
[tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{{f_{xx}}} & {{f_{xy}}} \cr {{f_{yx}}} & {{f_{yy}}} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]
Har du denne på formelsamlingen din?
Nå er vi endelig klare. Vi begynner med å sjekke hva slags punkt [tex](0,0)[/tex] er:
Det første vi gjør er å sette inn i hessematrisa:
[tex]$$H\left( {0,0} \right) = \left[ {\matrix{{6 \cdot 0 - 6} & { - 3 \cdot 0} \cr { - 3 \cdot 0} & { - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right]$$[/tex]
Nå sette vi opp det karakteristiske polynom dvs. vi regner ut:
[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
Her er [tex]H= \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right], \; \lambda \; ukjent, I = \left[ {\matrix{{ 1} & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right][/tex] og husk at rette streker betyr det samme som det(H-lambdaI)
Vi kjører på:
[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \lambda \left[ {\matrix{1 & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
Mellomregning som du kan hoppe over når du blir mer vandt:
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \left[ {\matrix{\lambda & 0 \cr 0 & \lambda \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
og denne
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {0 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
Så er det bare å gange gange ut determinanten her:
[tex]$$\left( { - 6 - \lambda } \right)\left( {0 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]
Får en såkalt karakteristisk ligning:
[tex]$${\lambda ^2} - 6\lambda = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda \left( {\lambda - 6} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = 0,\;\lambda = 6$$[/tex]
Løsningene er altså det som oppfyller [tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt
[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt
[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon
DETTE ER FEIL... I vårt tilfelle har vi [tex]\lambda = 0[/tex] som gir ingen konklusjon og [tex]\lambda = 6[/tex] som faller under [tex]D>0[/tex].
Da sjekker vi om det er et maks eller min punkt ved å sette inn i [tex]$${f_{xx}}$$[/tex]:
[tex]$${f_{xx}}\left( 6 \right) = 6 \cdot 6 - 6 = 30$$[/tex] dette er større enn null og dermed er det et lokalt minimums punkt!
MERK: Når vi får en egenverdi lik null så er svaret at vi ikke kan klassifiere punktet.
Nå trenger vi å regne ut [tex]$${f_{xx}},{f_{yy}},{f_{xy}},{f_{yx}}$$[/tex]:
[tex]$${f_{xx}} \;= 6x - 6$$[/tex]
[tex]$${f_{yy}} = - 3x + 6y$$[/tex]
[tex]$${f_{xy}} = {f_{yx}} = - 3y$$[/tex] (dette er visst ingen tilfeldighet og du vil oppleve at det ofte om ikke "nesten alltid" er slik. Jeg vet ikke hvorfor)
Nå er vi klare til å sette opp hessematrisa:
[tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{{f_{xx}}} & {{f_{xy}}} \cr {{f_{yx}}} & {{f_{yy}}} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]
Har du denne på formelsamlingen din?
Nå er vi endelig klare. Vi begynner med å sjekke hva slags punkt [tex](0,0)[/tex] er:
Det første vi gjør er å sette inn i hessematrisa:
[tex]$$H\left( {0,0} \right) = \left[ {\matrix{{6 \cdot 0 - 6} & { - 3 \cdot 0} \cr { - 3 \cdot 0} & { - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right]$$[/tex]
Nå sette vi opp det karakteristiske polynom dvs. vi regner ut:
[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
Her er [tex]H= \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right], \; \lambda \; ukjent, I = \left[ {\matrix{{ 1} & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right][/tex] og husk at rette streker betyr det samme som det(H-lambdaI)
Vi kjører på:
[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \lambda \left[ {\matrix{1 & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
Mellomregning som du kan hoppe over når du blir mer vandt:
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \left[ {\matrix{\lambda & 0 \cr 0 & \lambda \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
og denne
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {0 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
Så er det bare å gange gange ut determinanten her:
[tex]$$\left( { - 6 - \lambda } \right)\left( {0 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]
Får en såkalt karakteristisk ligning:
[tex]$${\lambda ^2} - 6\lambda = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda \left( {\lambda - 6} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = 0,\;\lambda = 6$$[/tex]
Løsningene er altså det som oppfyller [tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]
Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt
[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt
[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon
DETTE ER FEIL... I vårt tilfelle har vi [tex]\lambda = 0[/tex] som gir ingen konklusjon og [tex]\lambda = 6[/tex] som faller under [tex]D>0[/tex].
Da sjekker vi om det er et maks eller min punkt ved å sette inn i [tex]$${f_{xx}}$$[/tex]:
[tex]$${f_{xx}}\left( 6 \right) = 6 \cdot 6 - 6 = 30$$[/tex] dette er større enn null og dermed er det et lokalt minimums punkt!
MERK: Når vi får en egenverdi lik null så er svaret at vi ikke kan klassifiere punktet.
Sist redigert av Razzy den 03/12-2012 16:23, redigert 1 gang totalt.
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Ok, nå gjenstår det å sjekke punktene [tex](2,0) \; , \; (4,4)[/tex]. Med å sjekke mener jeg å finne ut hva slags punkt de er.
Vi har satt opp hessematrisen: [tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]
Velger å se sjekke [tex](2,0)[/tex] først:
[tex]$$H\left( {2,0} \right) = \left[ {\matrix{{ 6} & 0 \cr 0 & -18 \cr } } \right]$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {-18 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left( { 6 - \lambda } \right)\left( {-18 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} + 12\lambda -108 = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = {{ - 12 \pm \sqrt {{{\left( {12} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 108} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ - 12 \pm 24} \over 2} = - 6 \pm 12 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 6} \cr {{\lambda _2} = - 18} \cr } } \right.$$[/tex]
Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt
[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt
[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon
Konklusjon: Punktet [tex](2,0)[/tex] er et sadelpunkt da en av løsningene for determinanten er mindre enn null: [tex]D < 0[/tex].
[tex]$$H\left( {4,4} \right) = \left[ {\matrix{{ 18} & -12 \cr -12 & 12 \cr } } \right]$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 18 - \lambda } & -12 \cr -12 & {12 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left( { 18 - \lambda } \right)\left( {12 - \lambda } \right) - 144 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +216-144 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +72 = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = {{ 30 \pm \sqrt {{{\left( {-30} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { 72} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ 30 \pm 6\sqrt {17}} \over 2} = 15 \pm 3 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 18} \cr {{\lambda _2} = 12} \cr } } \right.$$[/tex]
Konklusjon: Punktet [tex](4,4)[/tex] er et lokalt minimumspunkt da begge løsningene er positive dvs. [tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex].
Vi har satt opp hessematrisen: [tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]
Velger å se sjekke [tex](2,0)[/tex] først:
[tex]$$H\left( {2,0} \right) = \left[ {\matrix{{ 6} & 0 \cr 0 & -18 \cr } } \right]$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {-18 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left( { 6 - \lambda } \right)\left( {-18 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} + 12\lambda -108 = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = {{ - 12 \pm \sqrt {{{\left( {12} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 108} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ - 12 \pm 24} \over 2} = - 6 \pm 12 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 6} \cr {{\lambda _2} = - 18} \cr } } \right.$$[/tex]
Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt
[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt
[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt
[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon
Konklusjon: Punktet [tex](2,0)[/tex] er et sadelpunkt da en av løsningene for determinanten er mindre enn null: [tex]D < 0[/tex].
[tex]$$H\left( {4,4} \right) = \left[ {\matrix{{ 18} & -12 \cr -12 & 12 \cr } } \right]$$[/tex]
[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 18 - \lambda } & -12 \cr -12 & {12 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]
[tex]$$\left( { 18 - \lambda } \right)\left( {12 - \lambda } \right) - 144 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +216-144 = 0$$[/tex]
[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +72 = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = {{ 30 \pm \sqrt {{{\left( {-30} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { 72} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ 30 \pm 6\sqrt {17}} \over 2} = 15 \pm 3 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 18} \cr {{\lambda _2} = 12} \cr } } \right.$$[/tex]
Konklusjon: Punktet [tex](4,4)[/tex] er et lokalt minimumspunkt da begge løsningene er positive dvs. [tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex].
Bygg.ing @ Hib - 2 året.