Løs differensiallikning ved bruk av laplace transformasjon

[Razzy]

Oppgaven:




Mitt løsningsforslag:

$\$\$L\left[y^{\prime }-y\right]=L\left[e^{2x}\right]\$\$$

$\$\$\left[s^{2}Y\left(s\right)-sY\left(0\right)-Y^{\prime }\left(0\right)\right]-Y\left(s\right)=\frac{1}{s-2}\$\$$

Har her benyttet med av reglene; ix, viii og iii (se formelsamling nederst).

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1}{s-2}+sY\left(0\right)+Y^{\prime }\left(0\right)\$\$$


Fordi $\$\$Y\left(0\right)=2\Rightarrow Y^{\prime }\left(0\right)=0\$\$$ ? Deriverte begge sider.

Dette gir meg hvertfall:

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1}{s-2}+2s\$\$$

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1+2s\left(s-2\right)}{s-2}\$\$$

$\$\$Y\left(s\right)=\frac{\left[1+2s\left(s-2\right)\right]\left(s^2-1\right)}{s-2}\$\$$

$\$\$Y\left(s\right)=\frac{\left[2s^2-4s+1\right]\left(s^2-1\right)}{s-2}\$\$$

$\$\$s=\frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\frac{4\pm \sqrt{8}}{4}=\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{4}\\ \frac{2-\sqrt{2}}{2}\end{array}\$\$$


Ble bare texas det her... Hvor skar det seg?


Formelsamlingen:

[Nebuchadnezzar]

For å løse differensiallikningen må du ha informasjon om hva $y\prime (0)$ er.
Et mot eksempel til deriveringen din er for eksempel om

$f(x)=2e^x$

Her er $f^{\prime }(0)=2$, mens $f^{\prime }(0)=2$!
For å finne $f^{\prime }(0)$ antar jeg følgende metode kan benyttes. Fra likningen har vi at

$y^{\prime }(x)-y(x)=e^x$, setter vi inn $x=0$, I likningen får vi

$y^{\prime }(0)=e^0+y(0)=1+2=3$

For å løse oppgaven din må du nok benytte deg av delbrøkoppspalting.

Hvorfor forventer du at teller skal ha pene røtter? Det har strengt talt ingen verdens ting med hva laplace-transformasjonen blir.

Og som en liten tillegsnotis, så har du ganget høyresiden med $s^2-1$, steden for å dele... =)

[Vektormannen]

At $y(0)=2$ betyr slettes ikke at $y^{\prime }(0)=0$! Ta for eksempel funksjonen $y=x^2+2x+2$. Vi har da at $y(0)=2$, men $y^{\prime }(0)=2\ne 0$. (Å derivere på begge sider vil jo faktisk gi deg $0=0$, siden både $y^{\prime }(0)$ og $2$ er konstanter.)

For å finne hva $y^{\prime }(0)$ er bruker du ligningen. Du vet jo at [tex]y^\prime(0) - y(0) = e^{2 \cdot 0)[/tex]. Da kan du jo bare løse for y'(0), ikke sant?

Resten av fremgangsmåten din frem til det punktet der du gjorde dette ser riktig ut.

EDIT: Nebu kom meg i forkjøpet ja :>

[Razzy]

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1}{s-2}+2s+3\$\$$

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1+2s\left(s-2\right)+3\left(s-2\right)}{s-2}\$\$$

Bare føler jeg ikke kommer meg til noe delbrøkoppstalting her? :S

[Nebuchadnezzar]

Forenkle høyresiden. Og dele likningen på $s^2-1$. Da får du

$Y=\frac{A}{(s-1)(s-1)(s-2)}$

som du kan utføre en delbrøkoppspalting på..

[Wency]

Man trenger vel ikke y'(0) når ligningen er av første orden.

[Razzy]

$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{1+2s^2-4s+3s-6}{s-2}\$\$$


$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{2s^2-s-5}{s-2}\$\$$


$\$\$s=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{4}\$\$$


$\$\$\left(s^2-1\right)Y\left(s\right)=\frac{\left(s-\frac{1-\sqrt{41}}{4}\right)\left(s-\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right)}{s-2}\$\$$


Ble jo bare stygt det her da Nebu? :S

[Andreas345]

Nå roter du Razzy. Drukket nok kaffe i dag?:P

$\frac{2s^2-s-5}{(s-1)(s+1)(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s-2}$

[Razzy]

aah, jees hva det jeg holder på med!

Ny kokt kaffe og julekaker er nå på plass

[Nebuchadnezzar]

$y^{\prime }-y=e^{2x},y(0)=0$

Tar laplace av høyre og venstre side av likningen.

$[sY-y(0)]-Y=\frac{1}{s-2}$

$Y(s-1)=\frac{1}{s-2}+2$

$Y=\frac{1}{(s-1)(s-2)}+\frac{2}{s-1}$

Definer så $\lambda (s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}-\frac{A}{s-1}-\frac{B}{s-2}$, dette gir oss

$\underset{s\to 1}{lim}(s-1)\lambda (s)=0\iff \frac{1}{1-2}-A=0\Rightarrow A=-1$

$\underset{s\to 2}{lim}(s-2)\lambda (s)=0\iff \frac{1}{2-1}-B=0\Rightarrow B=1$

Altså får vi

$Y=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-2}$

For å se delbrøkoppspaltingen litt lettere kan du og gjøre følgende

$\frac{1}{(s-1)(s-2)}=\frac{(s-1)-(s-2)}{(s-1)(s-2)}=\frac{s-1}{(s-1)(s-2)}-\frac{s-2}{(s-1)(s-2)}=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}$

Og det å finne inversen regner jeg med du klarer, siden det bare er å begrave nesen din ned i formelboken.

[Razzy]

Nebu det der ble litt heavy for meg, må vel ete en boks av disse julekakene skal jeg skjønne det der.

Jeg fikk dette etter å ha løst delbrøkoppspaltingen:

$\$\$Y\left(s\right)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s+1}+2\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s-2}\$\$$

$\$\$\underset{―}{\underset{―}{Y\left(t\right)=-\frac{1}{3}{e}^{-t}+2e^t-\frac{1}{3}{e}^{2t}}}\$\$$


And my work here i finished

[Vektormannen]

Det stemmer ikke helt. Når jeg setter løsningen din inn så får jeg ikke $e^{2x}$. Kan det ha skjedd noe slurv et sted?

[Pirk: En annen ting du må passe på er å bruke riktige symboler. y er navnet på funksjonen du skal finne. Det er funksjonen som inngår i den opprinnelige ligningen. Y er navnet på Laplace-transformasjonen til y. Det er y og Y som skiller mellom de to, ikke om det står Y(s) eller Y(t).]

[Nebuchadnezzar]

poenget mitt var at du har $y^{\prime }$ og ikke $y^{\prime \prime }$ som Wency nevnte.

Altså blir din fremgangsmåte feil, og måten jeg gjør delbrøksoppspaltingen min på er kanskje noe rar. Men det er jo ikke det som er poenget i utregningen

[Razzy]

Det stemmer ikke helt. Når jeg setter løsningen din inn så får jeg ikke $e^{2x}$. Kan det ha skjedd noe slurv et sted?

Er du enig i at etter jeg har løst deloppspaltingen får jeg:

$\$\$Y\left(s\right)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s+1}+2\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s-2}\$\$$


Hvis jeg forstod deg riktig skal det stå:

$\$\$y\left(t\right)=-\frac{1}{3}{e}^{-t}+2e^t-\frac{1}{3}{e}^{2t}\$\$$


Jeg har hvertfall sjekket delbrøkoppspaltingen - fant ingen feil. Og inverterte ved bruk av formelen iii fra formelarket:

[Nebuchadnezzar]

$\mathcal{L}\left\{y^{\prime }\right\}=sY-y(0)$

$\mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime }\right\}=s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)$