Drøfting av trigonometriske funksjoner

[Nibiru]

Jeg har to oppgaver som jeg ikke helt forstår. Håper noen kan opplyse meg.

1) Funksjonene [tex]f[/tex], [tex]p[/tex] og [tex]q[/tex] er gitt ved:

[tex]f(x)=5e^{-0.2x}sinx[/tex], [tex]D_f=[0,4\pi>[/tex]

[tex]p(x)=5e^{-0.2x}[/tex], [tex]D_f=[0,4\pi>[/tex]

[tex]q(x)=-5e^{-0.2x}[/tex], [tex]D_f=[0,4\pi>[/tex]

Forklar at [tex]q(x)\le{f(x)}\le{p(x)}[/tex]

Jeg skjønner at [tex]5sinx\in[-5,5] [/tex] og at [tex]e^{-0.2x}>0[/tex], men hvordan det påviser at ulikheten gjelder skjønner jeg ikke helt.


2) Vi har gitt funksjonen:
[tex]f(x)=sin^2x+x[/tex], [tex]D_f=[0,2\pi>[/tex]
Forklar at grafen til [tex]f(x)[/tex] aldri ligger under linja [tex]y=x[/tex].

Vet ikke helt hvordan skal jeg forklare det. Skjønner vel at [tex]sin^2x\ge{0}[/tex], men videre vet jeg ikke hva skal jeg gjøre for å vise det matematisk.

[Vektormannen]

Det virker som du egentlig har skjønt poengene i begge oppgavene! Det gjelder bare å få formulert en forklaring, eller formulere matematisk som du sier.

1) Som du sier så er [tex]5 \sin x \in [-5,5][/tex]. Å innse det er egentlig det som er viktig her vil jeg si. Videre er det det samme som å si at [tex]-5 \leq 5 \sin x \leq 5[/tex]. Er du med på det? Om vi så ganger tvers gjennom denne ulikheten med [tex]e^{-0.2x}[/tex], som er et positivt tall uansett hva x er, kan ikke forandre på det. Gjør vi det får vi ulikheten som skal forklares/vises.

(Her er det nok strengt nok at du sier at uansett hva x er så er [tex]5\sin x \in [-5,5][/tex], slik at enten er [tex]f(x) = p(x)[/tex] eller [tex]f(x) = q(x)[/tex] (hvis henholdsvis [tex]5\sin x = 5[/tex] eller [tex]5\sin x = -5[/tex]), eller så er f(x) et sted mellom, siden man da ganger med noe som er mellom -5 og 5.)

2) Å vise at grafen aldri ligger unna er det samme som å vise at den alltid ligger over eller på. Det vil si at du kan vise at [tex]f(x) \geq x[/tex]. Som du sier har du at [tex]\sin^2 x \geq 0[/tex]. Hva skjer om du legger til x på hver side?

(Her kan du nok også argumentere mer "kvalitativt" med at i minste fall er f(x) = x, hver gang [tex]\sin x = 0[/tex]. Ellers er f(x) lik x i tillegg til et positivt tall, som da må være større enn x.)

[Nibiru]

Tusen takk for forklaring. Jeg skjønt den første oppgaven. Oppgave 2, så "tror" jeg at jeg skjønte det. Hvis du legger x på hver side, så vil dem jo forkorte hverandre, slik at vi sitt igjen bare med [tex]sin^2x[/tex], som er aldri negativ. Dvs. at f(x) vil aldri ha en y-verdi som er negativ. Litt usikker om jeg skjønte tankegangen din her. Men det er kanskje ikke så viktig.

[Aleks855]

I oppgave 2 hadde jeg sannsynligvis gjort noe slikt, uten at jeg skal si noe om hvor lurt det er:

For å vise at funksjonen aldri går under x-aksen, viser vi at
[tex]f(x) \geq 0[/tex] på hele intervallet, som her er 0 til 2pi.

[tex]sin^2x \geq -x[/tex]

Så vet vi at [tex]x \in [0, \ 2\pi )[/tex] altså aldri negativt, så -x er ALLTID negativt. (EDIT: Eller 0)

Vel, venstre side er et kvadrat av sinx, og et kvadrat blir aldri negativt over de reelle tallene, ergo vil ulikheten være sann for alle x.

Nå blir det vel opp til dere å si om dette er en bra måte å gjøre det på.

[Vektormannen]

Tusen takk for forklaring. Jeg skjønt den første oppgaven. Oppgave 2, så "tror" jeg at jeg skjønte det. Hvis du legger x på hver side, så vil dem jo forkorte hverandre, slik at vi sitt igjen bare med [tex]sin^2x[/tex], som er aldri negativ. Dvs. at f(x) vil aldri ha en y-verdi som er negativ. Litt usikker om jeg skjønte tankegangen din her. Men det er kanskje ikke så viktig.

I 2) koker det egentlig ned til hvilket tall som er størst av [tex]x[/tex] og [tex]f(x) = \sin^2 x + x[/tex]. Disse to er like når [tex]x = k\pi[/tex] og ellers så vil f(x) være størst, siden den er lik x pluss et positivt tall.

Jeg uttrykte meg sikkert litt uklart i sted ang. ulikheten. Det jeg mente var at siden vi vet at [tex]\sin^2 x \geq 0 [/tex] og det er slik at om vi legger til det samme tallet på hver side av en ulikhet så forandres ikke ulikheten (hvis et tall er større enn et annet så forandres ikke det av at vi legger til eller trekker fra like mye av begge tall), så må [tex]\sin^2 x \geq 0 \ \Rightarrow \ \sin^2 x + x \geq x[/tex], som var det vi ville vise.

[Vektormannen]

I oppgave 2 hadde jeg sannsynligvis gjort noe slikt, uten at jeg skal si noe om hvor lurt det er:

For å vise at funksjonen aldri går under x-aksen, viser vi at
[tex]f(x) \geq 0[/tex] på hele intervallet, som her er 0 til 2pi.

[tex]sin^2x \geq -x[/tex]

Så vet vi at [tex]x \in [0, \ 2\pi )[/tex] altså aldri negativt, så -x er ALLTID negativt. (EDIT: Eller 0)

Vel, venstre side er et kvadrat av sinx, og et kvadrat blir aldri negativt over de reelle tallene, ergo vil ulikheten være sann for alle x.

Nå blir det vel opp til dere å si om dette er en bra måte å gjøre det på.

Her er det linja y = x og ikke x-aksen (y = 0) vi skal vi se at den ligger over

[Nibiru]

Tusen takk for forklaring. Jeg skjønt den første oppgaven. Oppgave 2, så "tror" jeg at jeg skjønte det. Hvis du legger x på hver side, så vil dem jo forkorte hverandre, slik at vi sitt igjen bare med [tex]sin^2x[/tex], som er aldri negativ. Dvs. at f(x) vil aldri ha en y-verdi som er negativ. Litt usikker om jeg skjønte tankegangen din her. Men det er kanskje ikke så viktig.

I 2) koker det egentlig ned til hvilket tall som er størst av [tex]x[/tex] og [tex]f(x) = \sin^2 x + x[/tex]. Disse to er like når [tex]x = k\pi[/tex] og ellers så vil f(x) være størst, siden den er lik x pluss et positivt tall.

Jeg uttrykte meg sikkert litt uklart i sted ang. ulikheten. Det jeg mente var at siden vi vet at [tex]\sin^2 x \geq 0 [/tex] og det er slik at om vi legger til det samme tallet på hver side av en ulikhet så forandres ikke ulikheten (hvis et tall er større enn et annet så forandres ikke det av at vi legger til eller trekker fra like mye av begge tall), så må [tex]\sin^2 x \geq 0 \ \Rightarrow \ \sin^2 x + x \geq x[/tex], som var det vi ville vise.

Oops. Når jeg svarte til deg så har jeg tenkt at det sto y=0 i oppgaven. Begynner å bli litt trøtt da . Da tror jeg at jeg har skjønt det. De to første setningene dine gjorde det klart for meg. Takker

[Vektormannen]

Hehe. Hvis det hadde vært y = 0 så har du hvertfall Aleks sin forklaring ovenfor.

[Aleks855]

Blørgh og lol. Blanda følelser om det hele

[Nibiru]

Vi har funksjonen [tex]f(x)=5sin(\pi\frac{x}{12}-\frac{\pi}{4})+10[/tex]. Finn faseforskyvning i forhold til [tex]sin(\pi\frac{x}{12}[/tex].

Blir ikke svaret [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] mot høyere da? (Står 3 mot høyere i fasit). Jeg ser jo i Geogebra at 3 mot høyere er et riktig svar. Men hvordan regner man ut faseforskyvning?

[Andreas345]

Generelt for en sinusfunksjon har vi at:

[tex]f(x)=A\cdot \sin(k(x-c))+d[/tex]

Hvor

A = Amplituden
d= Likevektslinjen.
[tex]k=\frac{2\cdot \pi}{p[/tex], hvor p er er perioden.
c = faseforskyvningen.

Skriver din funksjon på standard form, (Faktoriserer ut k). Og får at:

[tex]f(x)=5\cdot \sin \left (\frac{\pi}{12}(x-3) \right )+10[/tex]

[Nibiru]

Tusen takk!

[Nibiru]

Spørsmål c).
Jeg vet at [tex]\varphi=-c*x_0[/tex], hvor [tex]x_0[/tex] er x-koordinaten til første oppadstigende skjæringspunktet mellom likevektslinjen og f(x). Altså vi får [tex]\varphi=-2*1=-2[/tex].

Men hvorfor blir det feil å gjøre det på følgende måte:
Vi har fått funksjonen:

[tex]f(x)=4sin(2x+\varphi)+3[/tex]

Vi ser at funksjonen går gjennom punktet (0,3). Altså:

[tex]f(0)=3[/tex]

[tex]4sin(2x+\varphi)+3=3[/tex]

[tex]sin\varphi=0[/tex]

[tex]\varphi=0[/tex]

Jeg tror at den andre metoden fungerte for meg i noen forrige oppgaver, der jeg kunne ikke bestemme [tex]x_0[/tex] nøyaktig nok.

[Vektormannen]

Grafen går gjennom punktet (3,0), ikke (0,3)!

[Nibiru]

Grafen går gjennom punktet (3,0), ikke (0,3)!

/facepalm