Forkorting av brøker

[Markussen]

http://tinypic.com/view.php?pic=34t69hj&s=6

Læreren min gjorde følgende i en fasit.

Hvorfor tar han ikke (x+2) også?

[Nebuchadnezzar]

Hva er det som er rpboelemet? Han trekker sammen brøken. Der er ikke noe mer du kan fokorte.

Og imgur er bedre til bilder =)

[Aleks855]

[tex]\frac{(x-3)}{(x+2)(x-3)} = \frac{\cancel{(x-3)}}{(x+2)\cancel{(x-3)}} = \frac{1}{(x+2)}[/tex]

Han kan ikke forkorte (x+2) når den ikke ligger både i teller og nevner.

[Markussen]

Hvis dere ser på linje 2. Hvorfor sletter man ikke begge to? Den ser jeg ikke.

[Aleks855]

VIKTIG!!!! Du kan ikke forkorte faktorer fra ett av flere ledd i teller eller nevner. Teller og nevner må være fullstendig faktorisert for at du skal kunne forkorte på denne måten.

Her er noen videoer om forkorting av brøker.

http://udl.no/matematikk/algebra/rasjon ... ling-1-110
http://udl.no/matematikk/algebra/rasjon ... ling-2-112
http://udl.no/matematikk/algebra/rasjon ... ling-3-113
http://udl.no/matematikk/algebra/rasjon ... ling-4-114

[Markussen]

Jeg skal sjekke det ut når jeg kommer hjem. Men jeg tror jeg skjønte det litt bedre med kun forklaringen din også!

[Nebuchadnezzar]

Kort sagt er prinsippet enkelt. Ordbruken at vi stryker like ting over og under brøkstreken er missvisende, fordi det er ikke det vi gjør.

Om du har en kake som er delt inn i 5 biter, og du spiser alle sammen. Da har du spist 5 femdeler, eller en hel kake. Matematisk kan vi skrive dett som

[tex]\frac{5}{5} = 1[/tex]

Litt mer generelt så har vi at

\frac{\text{ditt}}{\text{ditt}}

Hvor du setter inn passelige ting for [tex]\text{ditt}[/tex]. (Altså så lenge [tex]\text{ditt} \neq 0[/tex] ).

Ditt tilfelle er ikke noe mer magisk, du bare har en litt annen ditt. Altså

[tex]\frac{(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2}\cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{1}{x+2}[/tex]

Legg merke til at ikke strøk like ting, vi ganske enkelt benyttet oss av at

[tex]\frac{\text{ditt}}{\text{ditt}} = \frac{x+3}{x+3} = 1[/tex]

Nå ser du kanskje hvorfor du ikke bare kan vilt stryke ting over og under brøkstreken. Det du gjør er at du forkorter like uttrykk =)

[Markussen]

Ja. Ser det litt bedre nå. Jeg trodde, som du sa, at man kunne stryke som man ville. Men da må man først regne ut alt oppe, for så og se om man kan finne likheter i teller og nevner?

[Nebuchadnezzar]

Riktig

[Markussen]

Prøvde meg nå. Og da fikk jeg følgende svar;

[tex]\frac{\cancel{x-3}}{\cancel{(x-3)}(x+2)}[/tex]

Det går, ikke sant?

[Nebuchadnezzar]

Ja, det er lov. Les innlegget mitt en gang til for å forstå hvorfor =)

[Markussen]

En til oppgave;

[tex]-2 \geq \frac{4}{x-3} [/tex]

Da får jeg;

[tex]0\geq\frac{4}{x-3}+\frac{2}{1}[/tex]

Og det jeg ikke helt skjønner nå er at jeg kan gange med x-3 oppe og nede på [tex]\frac{2}{1}[/tex], men hvorfor MÅ jeg ikke gjøre det på den andre brøken?

Har det noe med at det står et plusstegn og ikke et gangetegn mellom?

[Aleks855]

Nei, når du ganger med det samme over og under brøkstreken, så ganger du egentlig bare med 1. Det vil si at du ikke endrer brøkens verdi, så du har egentlig ikke gjort noe. Men det gir deg likevel felles nevner, så det er et steg i riktig retning likevel

[Nebuchadnezzar]

Poenget er at du ønsker å trekke sammen høyresiden din til en felles brøk
og for å gjøre dette må du finne fellesnevner, elle minste felles multiplum.

Du kan tenke på det som det minste uttrykket som er delelig på alle nevnerene. Et kort eksempel som viser dette er følgende; skriv uttrykket under så enkelt som mulig

[tex]\frac{1}{2} \,+\, \fra{1}{3} \,+\, \frac{1}{4}[/tex].

Her vil (minste) fellesnevner være 12 siden 12/2, 12/3 og 12/4 alle sammen er heltall. En annen fellesnever her er for eksempel 24. For å trekke sammen en brøk ganges hver brøk, oppe og nede. Med det som mangler for å få fellesnevner som nevner.

For å få 12 nede i første brøk, ser vi at vi må gange med 6.
For å få 12 nede i neste brøk, ser vi at vi må gange med 4.
For å få 12 nede i siste brøk, ser vi at vi må gange med 3.

Slik at

[tex]\frac{1}{2} \,+\, \fra{1}{3} \,+\, \frac{1}{4}[/tex]

[tex]\frac{6}{6} \cdot \frac{1}{2} \,+\, \frac{4}{4} \cdot \fra{1}{3} \,+\, \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{4}[/tex]

[tex]\frac{6}{12} \,+\, \frac{4}{12} \,+\, \frac{3}{12} [/tex]

[tex]\frac{13}{12} \, = \, 1 \,+\, \frac{1}{12}[/tex]

Tilsvarende på din oppgave må du finne fellesnevner. Det er faktisk ikke såå vanskelig her heller. Fellesnevner bare produktet av nevnerene dine altså

[tex]1 \cdot (x-3) \, = \, x-3[/tex]

At dette faktisk er en fellesnevner til oppgaven din, og den minste; lar jeg være opp til deg som leser å sjekke^^ I samme analogi som i forrige oppgave får vi

For å få x-3 nede i første brøk, ser vi at vi må gange med 1.
For å få x-3 nede i siste brøk, ser vi at vi må gange med x-3.

Innsetning gir oss

[tex]0 \, \leq \, \frac{4}{x-3} \, + \, \frac{1}{2}[/tex]

[tex]0 \, \leq \, \frac{1}{1} \, \cdot \, \frac{4}{x-3} \, + \, \frac{x-3}{x-3}\, \cdot \, \frac{2}{1}[/tex]

Og resten tror jeg du klarer. Tror og Alek's har noen fine videoer om det å finne fellesnevner og. Det å gange en brøk, eller et tall med [tex]\frac{1}{1}[/tex] virker ofte ganske meningsløst, så vi hopper som oftest bare rett over det.

[Markussen]

Aha! Er så lenge siden jeg har gjort det, så er bare godt å få frisket opp litt. Men da skjønte jeg det. Takk til begge to!

Sjekker videoene dine asap, Aleks!