Lagrange multiplier

[Hoksalon]

Hei, jeg kom over en liten oppgave.

Jeg skulle bevise for positive, reelle a,b,c at

[tex]a^2+b^2+c^2 \geq a + b + c[/tex]

Gitt at [tex]abc = 1[/tex]

Jeg bruker det Lagrange multiplier slik:


[tex]f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2-a-b-c[/tex]

[tex]g(a,b,c,\lambda) = \lambda \cdot (abc - 1)[/tex]

Dette gjør at jeg ender opp med likninssettet:

[tex]f_a(a) = 2a - 1 -\lambda \cdot bc = 0[/tex]
[tex]f_b(b) = 2b - 1 - \lambda \cdot ac = 0[/tex]
[tex]f_c(c) = 2c - 1 - \lambda \cdot ab = 0[/tex]
[tex]abc = 1[/tex]

Det er selvfølgelig lett å se at 1,1,1 er en positiv, reell løsning på det hele, men er det en måte å bevise at dette er den eneste løsningen (eller om det er den eneste positive løsningen for a,b,c?) Jeg sjekker nemlig Wolfram Alpha, og da ser jeg jo at det eksisterer en løsning der en/to av verdiene er negative, og det er en løsning jeg ikke har funnet selv med algebra. (dessuten klarer jeg heller ikke å finne at 1,1,1 er en løsning algebraisk, men ved å bare se det).

[Vektormannen]

Hva skjer om du ganger den første ligningen med a på hver side, den andre med b på hver side og den tredje med c på hver side?

[Gustav]

Kan virke som det er lettere å bare homogenisere ulikheten for å få vekk føringen abc=1, og deretter bruke AM-GM

[Hoksalon]

Er det ikke umulig å homogenisere denne ulikheten? RHS har orden lik 2 + 3k, mens den andre siden har orden lik 1 + 3n. Videre har vi at:

2 + 3k = 1 + 3n

1 + 3k = 3n, altså er dette umulig slik jeg ser det.

Vektormannen: Ja, du sier noe der. Nå fikk jeg totalt to uttrykk med lambda for a, b og c, altså totalt 6 ulike uttrykk. Jeg går ut i fra at det bare er å plugge disse inn i abc = 1, slik at jeg vil få et uttrykk for lambda, og videre alle de ulike løsningene.

Her er forøvrig de to uttrykkene per a,b,c: http://mathbin.net/122910

[Vektormannen]

Hm, vi får vel [tex]2a^2 - a = 2b^2 - b = 2c^2 - c[/tex] som gir [tex]2a^2 - a = 2b^2 - b \ \wedge \ 2a^2 - a = 2c^2 - c[/tex]? Ser vi på den første så har vi [tex]2(a-b)(a+b) = a-b[/tex], så da må enten [tex]a = b[/tex] eller [tex]2(a+b) = 1[/tex]. Tilsvarende for de andre. Herfra får man hvertfall at a = b = c = 1 må være en løsning, men utover det er jeg ikke helt sikker

[Gustav]

Er det ikke umulig å homogenisere denne ulikheten? RHS har orden lik 2 + 3k, mens den andre siden har orden lik 1 + 3n. Videre har vi at:

2 + 3k = 1 + 3n

1 + 3k = 3n, altså er dette umulig slik jeg ser det.

Nei, det er fullt mulig å homogenisere:

Gang høyre side med [tex](abc)^{\frac13}[/tex]. Vi får altså

[tex]a^2+b^2+c^2 \geq (a+b+c)(abc)^{\frac13}=a^{\frac43}b^{\frac13}c^{\frac13}+a^{\frac13}b^{\frac43}c^{\frac13}+a^{\frac13}b^{\frac13}c^{\frac43}[/tex].

(Denne ulikheten vet vi er sann fra Muirheads ulikhet.)

Det er nå mulig å bruke AM-GM for å vise denne. Prøv!

[Hoksalon]

Om vi bruker denne varianten tre ganger, er den bevist.
[tex]a^2 + a^2 + a^2+a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt[6]{a^{8}b^{2}c^{2}} = 6\sqrt[3]{a^{4}bc}[/tex]

[Gustav]

Jepp.