Bevise at: (a^x)'=a^x * ln a

[alexleta]

[tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n+x}-a^{x}}{h}=a^{x}\cdot \lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=a^{x}*ln(a)[/tex]

hvordan blir:
[tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=a^{x}*ln(a)[/tex]

takk for svar!

[Gustav]

Bruk L´Hopital

[Nebuchadnezzar]

L'hôpital er ikke pensum på videregåendeo og en kan ikke bruke den her heller. Fordi da bruker en hva en ønsker å vise (nemlig hva den deriverte av [tex]a^x[/tex] er)

Bevis 1:

[tex]y \, = \, a^x[/tex]

[tex]\log y \, = \, x \cdot \log a[/tex] Tar logaritmen på begge sider

[tex]\frac{y^\prime}{y} \, = \, \log a[/tex] Deriverer begge sider mtp [tex]x[/tex].

[tex]y^\prime \, = \, y \cdot \log a \, = \, a^x \cdot \log a[/tex]

En helt tilsvarende måte er å skrive om funksjonen som følger.

Bevis 2:

[tex]y \, = \, a^x[/tex]

[tex]y \, = \, e^{\log(a^x)}[/tex]

[tex]y \, = \, e^{x \cdot \log a}[/tex]

[tex]y^{\prime} \, = \, \left( x \log a \right)^{\prime} \cdot e^{x \cdot \log a}[/tex]

[tex]y^{\prime} \, = \, \log a e^{\log(a^x)}[/tex]

[tex]y^{\prime} \, = \, a^x \cdot \log a[/tex]

Alternativt kan jeg anta at du allerede har vist at kjerneregelen, og da koker problemet bare ned til å finne den deriverte av [tex]e^x[/tex].

Selve definisjonen av e er som følger

[tex]e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/tex]

Setter vi nå for eksempel [tex]n = 1/u[/tex] får vi

[tex]e = \lim_{u\to 0} \left( 1 + u \right)^{1/u}[/tex]

Og opphøyer vi begge sider i [tex]u[/tex] fås

[tex]e^u = \lim_{u \to 0} \left( 1 + u \right)\qquad(1)[/tex]

Nå går vi tilbake til selve definisjonen, og bruker definisjonen av den derivere på [tex]e^x[/tex] da fås

[tex]\left( e^x \right)^{ \prime } = \lim_{u \to 0} \frac{f(x+u) - f(x)}{u}[/tex]

[tex]\left( e^x \right)^{ \prime } = e^x \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u}[/tex]

Bruker vi nå (1) får vi

[tex]\left( e^x \right)^{ \prime } = e^x \lim_{u \to 0} \frac{[1 + u] - 1}{u} = e^x \lim_{u \to 0} 1 = e^x[/tex]

[mstud]

[tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n+x}-a^{x}}{h}=a^{x}\cdot \lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=a^{x}*ln(a)[/tex]

hvordan blir:
[tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=a^{x}*ln(a)[/tex]

takk for svar!

Det er ikke: [tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=a^{x}*ln(a)[/tex], men: [tex]\lim_{n \to 0}\frac{a^{n}-1}{h}=ln (a)[/tex]

a opphøyd i x holdes utenfor, men dette er kanskje bare skrevet feil?