[tex]f(x)=\frac 1{1+x^2}[/tex], skal begrunne hvorfor denne er uniformt kontinuerlig på [tex](-\infty,\infty)[/tex]. Her kan man ikke utvide til et lukket intervall heller. Fasit har bare et hint om at absoluttverdien til den deriverte av en uleselig bokstav blir [tex]\leq 1[/tex].
Hvordan kan dette forklares?
Uniform kontinuitet på (-\infty,\infty)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mstud
- Grothendieck
- Posts: 825
- Joined: 14/02-2011 15:08
- Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
La epsilon>0 være gitt. Vi ønsker å vise at det eksisterer en delta>0 for alle x og y slik at:
[tex]|x-y| < \delta \Leftarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex].
Vi ser på det siste uttrykket nærmere:
[tex]|f(x)-f(y)| = \left| \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+y^2} \right| = \left| \frac{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \right| = \frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Det siste følger siden nevneren er et produkt av to positive tall, i.e. alltid positivt avhengig av x og y. Triangelulikheten gir:
[tex]\frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq |x-y| \frac{(|x|+|y|)}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Igjen, siden nevneren alltid er positiv, og begge faktorene alltid er større enn 1 kan vi fint ta vekk den ene i hver brøk og sitte igjen med:
[tex]|f(x)-f(y)| \leq |x-y| \left( \frac{|x|}{1+x^2} + \frac{|y|}{1+y^2} \right)[/tex]
Hvis vi ser på hva vi har inne i parantesen ser vi at vi har to (virkelig bare en) funksjon og vi kan lett finne ut når den er på sitt største. Resten følger greit derfra.
[tex]|x-y| < \delta \Leftarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex].
Vi ser på det siste uttrykket nærmere:
[tex]|f(x)-f(y)| = \left| \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+y^2} \right| = \left| \frac{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \right| = \frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Det siste følger siden nevneren er et produkt av to positive tall, i.e. alltid positivt avhengig av x og y. Triangelulikheten gir:
[tex]\frac{|x-y| |x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq |x-y| \frac{(|x|+|y|)}{(1+x^2)(1+y^2)}[/tex]
Igjen, siden nevneren alltid er positiv, og begge faktorene alltid er større enn 1 kan vi fint ta vekk den ene i hver brøk og sitte igjen med:
[tex]|f(x)-f(y)| \leq |x-y| \left( \frac{|x|}{1+x^2} + \frac{|y|}{1+y^2} \right)[/tex]
Hvis vi ser på hva vi har inne i parantesen ser vi at vi har to (virkelig bare en) funksjon og vi kan lett finne ut når den er på sitt største. Resten følger greit derfra.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
-
mstud
- Grothendieck
- Posts: 825
- Joined: 14/02-2011 15:08
- Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
Takk for hjelpen
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.