Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Vi kunne kanskje definere det som at et lokalt ekstremalpunkt c kjennetegnes av at det finnes en eps > 0 slik at f(c) >= f(x) når |x − c| < ε og (eventuelt <= ) (?) det finnes en omegn om c hvor f er definert?
Eller kanskje punktet kan være et lokalt ekstremalpunkt selv om f ikke er definert i en omegn?
Dette kan man utvide R^n også, men da må man antakelig bytte ut avstandsfunksjonen med en kule om punktet eller noe i den dur, tror jeg.
Her kan sikkert noen fylle inn de manglende bitene av puslespillet
For en funksjon av flere variable tror jeg vi sier at a er et lokalt maksimumspunkt for f dersom det finnes en kule B(a, r) slik at f(a) >= f(y) for alle y i mengden B(a, r).
Så er spørsmålet, hvis f bare er punktvis definert, så kan vi vel fortsatt si at B(a, r) = {a} for en gitt r, og i såfall er jo f(a) = f(y) for y = a, og med andre ord er det et lokalt maksimumspunkt?
Utstyr først [tex]\mathbb{R}[/tex] med den euklidske metrikken [tex]d[/tex] definert ved at [tex]d(x,y)=|x-y|[/tex] for alle [tex]x,y \in\mathbb{R}[/tex].
La først [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex], altså er f definert på hele [tex]\mathbb{R}[/tex]. Vi behøver ikke kreve at f hverken er deriverbar eller kontinuerlig.
Et lokalt minimum x=c er da definert ved at det eksisterer en [tex]\delta>0[/tex] slik at [tex]f(x)\geq f(c)[/tex] for alle x slik at [tex]d(x,c)<\delta[/tex].
La så [tex]U\subset \mathbb{R}[/tex] være en vilkårlig delmengde av [tex]\mathbb{R}[/tex], og la [tex]f:U\to\mathbb{R}[/tex]. Definér de åpne [tex]\epsilon[/tex]-omegnene til punkter i [tex]\mathbb{R}[/tex] ved [tex]B_r(a)=\{x\in\mathbb{R}|d(x,a)<r\}[/tex].
Dersom vi ser på [tex]\mathbb{R}[/tex] som et topologisk rom der de åpne mengdene er generert av [tex]\epsilon[/tex]-omegnene over, vil vi kunne betrakte U som et topologisk underrom der de induserte åpne intervallene er på formen [tex]B_r(a)\cap U[/tex] for elementer a i [tex]\mathbb{R}[/tex]. Med andre ord: de åpne (del)mengdene i U er åpne hvis de kan skrives som snittet mellom U og åpne mengder i [tex]\mathbb{R}[/tex].
Vi kan nå generalisere betydningen av lokale ekstremalpunkt som følger:
La U være et topologisk rom og la [tex]f:U\to\mathbb{R}[/tex] være en funksjon fra U inn i de reelle tallene. Da er c et lokalt minimum (analogt for maksimum) dersom det fins en åpen omegn W om c slik at for alle x i W gjelder at [tex]f(x)\geq f(c)[/tex].
Eksempel:
Vi betrakter en delmengde av [tex]\mathbb{R}[/tex] gitt ved [tex]U=[0,1)\cup\{2\}[/tex], og en funksjon [tex]f:U\to\mathbb{R}[/tex]. Dersom vi benytter den generaliserte definisjonen av lokalt minimum fra forrige avsnitt, vil f ha et lokalt minimum i punktet x=2 fordi [tex]V=(\frac32, 3)\cap U=\{2\}[/tex] er en åpen omegn (som snittet av en åpen mengde med U) om x=2 i U slik at [tex]f(x)\geq f(2)[/tex] for alle [tex]x\in V[/tex], altså er definisjonen av lokalt minimum oppfylt, selv i et isolert punkt. På samme måte er x=2 et lokalt maksimum!
SÅ kort oppsummert er svaret på ditt siste spørsmål: ja.
