Løse integral ved substitusjon

[Integralen]

Oppgave 9.4.19

a) Bruk substitusjonen [tex]\:t=tan(\theta)\:[/tex] til å finne det ubestemte integralet:

[tex]\int \frac{d\theta}{(sin(\theta)+cos(\theta))^2}[/tex] [tex]\: \: \theta \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex].

Hvordan skal man bruke denne substitusjonen?Hvordan ser integralet ut etter å ha brukt substitusjonen ?

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

[tex]I = \int \frac{\mathrm{d}\theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} = \int \frac{1}{(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta})^2} \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\cos^2\theta}[/tex]

Så er det bare å bruke substitusjonen. Omformingen gjør du fordi du ønsker å finne igjen tangens i integralet ditt =)

[Integralen]

Og da får vi glimrende:

[tex]I = \int \frac{\mathrm{d}\theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} = \int \frac{1}{(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta})^2} \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\cos^2\theta}=\int \frac{1}{(1+t)^2}dt=-\frac{1}{1+tan(\theta)}+C[/tex]

der [tex]\: \: dt=\frac{d\theta}{cos^2(\theta)}[/tex]