Er du kjent med epsilon-delta bevis? Har du gjort mange av disse? Kjenner du til tankegangen bak? Hvis ikke kan det være lurt å sette seg inn i denne. Det kan være litt vanskelig i starten, så det er ikke sikkert du forstår det. Jeg kan prøve å bidra med noen ord.
Den formelle definisjonen av en grenseverdi er som følger:
Vi sier at en funksjon f har grenseverdi L når x går mot a (denotert [tex]\lim_{x \to a} f(x) = L[/tex], eller [tex]f(x) \to_{x \to a} L[/tex] (f(x) går mot L når x går mot a))
HVIS det følgende gjelder:
For alle [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]\delta > 0[/tex] slik at hvis [tex]|x-a| < \delta[/tex] så er [tex]|f(x)-L|< \epsilon[/tex]
Ikke bli skremt over at det ser litt abstrakt og vanskelig ut. Det det betyr er nettopp det at hvis f(x) er arbitrært nærme L, så vil også x være nærme a. Med andre ord, uansett hvor liten avstanden er mellom f(x) og L, så vil avstanden mellom x og a være "tilstrekkelig liten" også.
Illustrert med et bilde (fra wikipedia):
[img]
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... 01.svg.png[/img]
For å gå igjennom et eksempel for deg kan vi se på
[tex]f(x)=3x-1[/tex] når x går mot 1. Vi "gjetter" på at grenseverdien vil være 2 (dette vil den selvfølgelig være siden f er en "fin" funksjon, men la oss vise det!).
Så vi lar [tex]\epsilon>0[/tex] og vi ønsker så å finne en [tex]\delta>0[/tex] slik at implikasjonen:
[tex]|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L|< \epsilon[/tex] gjelder uansett hva epsilon er (dette har vi alt tatt hånd om siden vi har antatt at epsilon er et vilkårlig positivt nummer).
Hvis vi setter inn tallene våre får vi at:
[tex]|x-1| < \delta \Rightarrow |f(x)-2| = |(3x-1)-2| = |3x-3| = 3|x-1| < \epsilon[/tex]
Vi ser her at vi allerede kjenner til at [tex]|x-1| < \delta[/tex], så dette kan vi bruke til vår fordel! Hvis vi f.eks. sier at [tex]\delta = \epsilon / 3[/tex] får vi at:
[tex]|f(x)-2| = 3|x-1| < 3 \delta = 3 \frac{\epsilon}{3} = \epsilon[/tex].
Med andre ord har vi funnet en deltaverdi som gjør at [tex]|f(x)-2| < \epsilon[/tex] uansett hvor liten epsilon måtte finne på å være og vi har derfor bevist at grenseverdien til f(x) når x går mot 1 er 2.
Dette vil ofte være måten du går frem på. Du skriver ut det som er mindre enn delta og prøver å flette denne deltaverdien inn i det andre uttrykket.
På den andre oppgaven må du igjen bruke definisjonen av den deriverte:
[tex]f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}[/tex]
Her kommer hintet inn. Det er litt tricky. Men hvis du ser på telleren så kan man kanskje tenke at en gjerne skulle hatt vekk 1/3. I hintet har noe som ligner veldig på hva vi har og på hva vi ønsker. Hmmm.
Håper dette tydeliggjør litt, og hvis ikke er det bare å stille videre spørsmål!
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
