Integral

[Integralen]

Oppgave 9.4...

[tex]\int \frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}dx[/tex]

Kan denne løses med enkel integrasjonsteknikk?Hvordan?

På forhånd takk!

[Janhaa]

prøvd med

[tex]u=\tan(x/2)[/tex]

[Integralen]

Ja og da fikk jeg et problem i nevner:

[tex]\int \frac{8u^2du}{(1+u^2) \cdot [(1+u^2)^2+4u^2]}[/tex]

Prøvde å delbrøkoppspalte integranden, men klarer det ikke pga at det er + tegn, og da vet jeg ikke hvordan jeg bruker delbrøkoppspaltingen.

Jeg trenger andregrads eller eventuelt førstegrads polynomer slik at jeg kan bruk delbrøkoppspaltingen.

Hvordan ser fellesuttrykket ut i nevner som skal ganges med eventuelle konstanter på høyre side i delbrøkoppspaltingen?

[Nebuchadnezzar]

Integrasjon er ikke en slavisk fremgangsmåte men handler om å klare å se de smarte triksene, og de nyttige sammenhengene.
Legg først merke til at

[tex]\frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2} = \frac{1 + \sin(x)^2 - 1}{1+\sin(x)^2} = 1 - \frac{1}{1 + \sin(x)^2}[/tex]

Slik at

[tex]\int \frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x = x - \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin(x)^2}[/tex]

Så vil eksempelvis substitusjonen [tex]u = \tan(x)[/tex], være nyttig.
Da får du

[tex]I = x - \int \frac{\mathrm{d}u}{2u^2+1}[/tex]

Og herfra regner jeg med du klarer resten.. Mellomregningene får du ta på egen kappe slik du lærer noe

[Janhaa]

trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:

[tex]\begin{align} I=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos^2(x)}\,dx=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos(2x)-\sin^2(x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)+1-1}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\,dx\,-\,\int\frac{du}{3-\cos(u)}+C \end{align}[/tex]

med u = 2x,

så kan du bruke t=tan(u/2) på siste og da får du riktig...

[Nebuchadnezzar]

trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:

Streess..

[Integralen]

Nebuchadnezzar: Det var noe med +1 og -1 i teller jeg prøvde men sluttet opp tidlig, ser nå at denne metoden virker utmerket, da tror jeg man får 1+2u i nevner

Janhaa: En annen måte ser det ut som, men komplisert.

Supert for alle bidragene!