Riemann Integral

[Kake med tau]

Hei, jeg står fast på følgende oppgave hvor jeg ikke får til å få inn ε i partisjonene:

La f(x) være:
- 1 hvis 0 ≤ x ≤ 1
- 0 hvis 1 < x ≤ 2

Bevis at f er integrerbar på [0,2] og regn ut [symbol:integral] f(x)dx, fra 0 til 2

Kunne noen gitt meg en grei intuisjon?

(Jeg har prøvd å bruke partisjonen P={0, 1/2-ε, 1/2+ε, 1, 2}, og jeg får at L(f, P)=0, og U(f, P)=1(2ε)+0(2-1)=2ε.
U(f, P) - L(f, P) < ε (som ikke stemmer). Går det greit å velge, f.eks, ε/4 som avstand mellom 1 og 1/2, og 0 og 1/2)

[Kake med tau]

Stemmer det at L(f, P)=0? Jeg lurer på om heller L(f, P)=U(f, P)?
Hvis siste fall stemmer blir:

(Definérer avstanden mellom 0 og 1/2, og avstanden mellom 1/2 og 1 som δ)
U(f, P) = 1(2δ) + 0(2 - 1) = 2δ
L(f, P) = 1(2δ) + 0(2 - 1) = 2δ

Da stemmer det bedre at U(f, P) - L(f, P) < ε
0 < ε

Etter fornuft burde verdien på integralet være 1, U(f, P) = L(f, P) = 1, så da må jeg ha brukt δ og ε feil

(Jeg tror jeg har gjort feil ved å allerede definére δ som 1/2, men jeg vet ikke hvordan jeg ellers skal bruke den?)

Håper noen kan hjelpe

[Gustav]

Det er vel nok å bruke partisjoner [tex]\{0,1-\frac{\epsilon}{2}, 1+\frac{\epsilon}{2}, 2\}[/tex].

[Kake med tau]

Det er vel nok å bruke partisjoner [tex]\{0,1-\frac{\epsilon}{2}, 1+\frac{\epsilon}{2}, 2\}[/tex].

Jeg har prøvd å bruke [tex]\{0,1-\delta, 1+\delta, 2\}[/tex] som partisjoner for å forhåpentligvis finne ut hvilke epsilon som duger, men når jeg regner ut L([symbol:funksjon], P) og U([symbol:funksjon], P) får jeg:


L([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+0(2-(1+\delta))=1+\delta[/tex]
U([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+1(2-(1+\delta))=2[/tex]

Ifølge et teorem er [symbol:funksjon] integrerbar hvis
U([symbol:funksjon], P)-L([symbol:funksjon], P)<[tex]\epsilon[/tex]

[tex]1-\delta < \epsilon[/tex] (*)

Og integralet er L([symbol:funksjon], P) = U([symbol:funksjon], P) (**)
, utifra figuren ser det ut som at svaret blir 1, men jeg vet ikke hvordan jeg skal få (*) og (**) til å stemme.

Håper noen kan hjelpe meg her!

[Gustav]

Virker som du har regnet litt feil. Med den partisjoneringen jeg ga i forrige innlegg blir

[tex]L=1-\frac{\epsilon}{2}[/tex] og

[tex]U=1-\frac{\epsilon}{2}+\epsilon[/tex], så

[tex]U-L=\epsilon[/tex]

[Kake med tau]

Virker som du har regnet litt feil. Med den partisjoneringen jeg ga i forrige innlegg blir

[tex]L=1-\frac{\epsilon}{2}[/tex] og

[tex]U=1-\frac{\epsilon}{2}+\epsilon[/tex], så

[tex]U-L=\epsilon[/tex]

Takk! Men skal ikke [tex]U-L<\epsilon[/tex]?

Jeg bruker [tex]\delta[/tex] fordi jeg har lyst til å finne ut hvilke epsiloner som passer som avstand, om det funker med, f.eks, [tex]\frac{9}{10}\epsilon[/tex] osv... Og jeg føler at jeg ikke er helt stø i å regne ut L og U, kunne du vist hvor jeg har regnet feil?

[Gustav]

L([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+0(2-(1+\delta))=1+\delta[/tex]
U([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+1(2-(1+\delta))=2[/tex]

Det skal være

L([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+0(2\delta)+0(2-(1+\delta))=1-\delta[/tex]
U([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(2\delta)+0(2-(1+\delta))=1-\delta+2\delta[/tex]

[Kake med tau]

L([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+0(2-(1+\delta))=1+\delta[/tex]
U([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(\delta)+1(\delta)+1(2-(1+\delta))=2[/tex]

Det skal være

L([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+0(2\delta)+0(2-(1+\delta))=1-\delta[/tex]
U([symbol:funksjon], P) = [tex]1(1-\delta-0)+1(2\delta)+0(2-(1+\delta))=1-\delta+2\delta[/tex]

Aha, tusen takk for hjelpen! Da får jeg lese litt mer på hvordan man regner nedre og øvre summer.

Forresten, er det nok å si at integralet er definert når L([symbol:funksjon], P)=U([symbol:funksjon], P)
[tex]1=1+2\delta[/tex], som stemmer når [tex]\delta<\frac{\epsilon}{2}[/tex] nærmer seg 0?

[Gustav]

Poenget er at du skal vise at det fins partisjoneringer slik at differansen mellom øvre og nedre Riemannsum er vilkårlig liten. Det er kun på det midtre intervallet at minimumet av f er ulik maksimum av f, så siden vi kan gjøre dette intervallet vilkårlig lite vil differansen mellom øvre og nedre riemannsum kunne gjøres vilkårlig liten.