Spørsmål fra 2P pensum

[PiaR]

Hei!

Jeg fikk et spørsmål av ei venninne i dag. Hun har 2P matte og trengte hjelp med en oppgave.

Oppg. 1.221)

a) [tex]4^x \cdot 4^0 \cdot 4^{-3}= 4[/tex]

b) [tex]7^{-4} \cdot 7^x \cdot 7^5= 7^2[/tex]

Jeg ser at svaret på a) vil bli x=4 og på b) x=1. Problemet er at jeg ikke kan forklare/vise henne hvordan hun skal regne det ut. Kan noen hjelpe?

[Nebuchadnezzar]

Har venninen din hatt om potenser og logaritmer enda?

Den kanskje enkleste metoden er å bruke potensreglene hun kan
på begge sider av likningen

[tex]a^b \cdot a^c = a^{b + c}[/tex]

For å forklare henne denne regelen kan du eksempelvis sette [tex]a=2[/tex], og
[tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] to tall og sjekke at det stemmer. Når du bruker denne sammenhengen på likningen vil du ende opp med noe som ser ut som

[tex]a^{f(x)} = a^{g(x)}[/tex]

og da er det forhåpentligvis veldig klart at eneste mulighet for at denne likningen kan være sann er hvis og bare hvis [tex]f(x) = g(x)[/tex]. I ditt tilfelle vil da [tex]a=2[/tex] i første oppgave, også lar jeg det være opp til dere og finne [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex]
Hvor vi selvsagt antar at [tex]a[/tex] er en positiv konstant.

Har venninen din hat om logaritmer enda kan du og løse likningen ved å ta logaritmen på begge sider.

[tex]\log_a\left( a^{f(x)} \right) = \log \left( a^{g(x)} \right) [/tex]

[tex]f(x) \cdot \log_a\left( a \right) = g(x) \cdot \log \left( a \right) [/tex]

[tex]f(x) = g(x) [/tex]

Hvor det i siste ovegang ble benyttet at [tex]\log_a(a) = 1[/tex], for alle tall a.
Som i praksis sier at du må opphøye [tex]a[/tex] i [tex]1[/tex] for å få [tex]a[/tex]. ([tex]a^1 = a[/tex])

[PiaR]

Har venninen din hatt om potenser og logaritmer enda?

Den kanskje enkleste metoden er å bruke potensreglene hun kan
på begge sider av likningen

[tex]a^b \cdot a^c = a^{b + c}[/tex]

For å forklare henne denne regelen kan du eksempelvis sette [tex]a=2[/tex], og
[tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] to tall og sjekke at det stemmer. Når du bruker denne sammenhengen på likningen vil du ende opp med noe som ser ut som

[tex]a^{f(x)} = a^{g(x)}[/tex]

og da er det forhåpentligvis veldig klart at eneste mulighet for at denne likningen kan være sann er hvis og bare hvis [tex]f(x) = g(x)[/tex]. I ditt tilfelle vil da [tex]a=2[/tex] i første oppgave, også lar jeg det være opp til dere og finne [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex]
Hvor vi selvsagt antar at [tex]a[/tex] er en positiv konstant.

Har venninen din hat om logaritmer enda kan du og løse likningen ved å ta logaritmen på begge sider.

[tex]\log_a\left( a^{f(x)} \right) = \log \left( a^{g(x)} \right) [/tex]

[tex]f(x) \cdot \log_a\left( a \right) = g(x) \cdot \log \left( a \right) [/tex]

[tex]f(x) = g(x) [/tex]

Hvor det i siste ovegang ble benyttet at [tex]\log_a(a) = 1[/tex], for alle tall a.
Som i praksis sier at du må opphøye [tex]a[/tex] i [tex]1[/tex] for å få [tex]a[/tex]. ([tex]a^1 = a[/tex])

Tusen takk for godt svar!
Hun har nok ikke hatt om logaritmer - jeg har R1 så det var det første jeg tenkte å bruke. Jeg forstod det slik at de jobber med potensregning nå, så det er nok den måten du beskrev de skal bruke.