Har bare hatt tid til å løse de to første til nå, men det virker som gode, spennende oppgaver
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
http://abelkonkurransen.no/problems/abe ... rob_nb.pdf
Man kan jo også legge ut egne løsninger på oppgavene.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det man gjør er å betrakte hvert ledd 1/n i summen som det inverse elementet til n i den multiplikative gruppen Z_p. Siden ulike tall i Z_p har ulike inverser, så har du summen av p-1 antall ulike rester i Z_p, som følgelig er ekvivalent med summen [tex]\sum_{i=1}^{p-1} i[/tex] modulo p. Det var sånn jeg også løste oppgaven først, men forsøkte å unngå moduloregning og basic gruppeteori i forslaget jeg postet.Hoksalon skrev:Oppgave 3:
Algebra gir oss
[tex]p - 2(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}[/tex]
Her stoppet det opp for meg, og jeg er enda ikke helt sikker på fremgangsmåten min, men alle brøkene vil gi ulik rest modulo p, så det følger at uttrykket kan skrives:
[tex]p-2(1+2+3+...+(p-1)) \equiv p-p(p-1) \equiv 0\bmod p[/tex]
Jeg forstår egentlig ikke helt dette, men jeg antar det er en modningssak.
EDIT: Forstod det med plutarco sin fremgangsmåte. Det jeg har skrevet her er vel heller ganske vagt.
Du må vel inkludere endepunktene i intervallet og, da er uttrykket et fullstendig kvadrat.plutarco skrev:Forslag til løsning på
1a)
La
[tex]f(x,y)=y^2+axy+(3+a)x^2[/tex].
For at ulikheten [tex]f(x,y)\geq 0[/tex] skal gjelde alle reelle par x,y, kan ikke polynomet ha noen nullpunkter.
Betrakter man 2.gradsligningen f(x,y)=0 vil denne ikke ha reelle løsninger dersom -2<a<6, så f(x,y) er enten [tex]\geq 0[/tex] eller [tex]\leq 0[/tex] for alle x,y. Vi har at [tex]f(0,y)=y^2\geq 0 [/tex], så ulikheten gjelder for alle x,y dersom a ligger i det nevnte intervallet.
God løsning på en av de (i mine øyne) vanskeligere oppgavene jeg har sett i abelkonkurransen. Det kan umulig være mange som fikk full score på denne...?Solar Plexsus skrev:Oppgave 4b fra fjorårets Abelfinale:
Positive tall [tex]b_1, \,b_2, \, \ldots \, ,\,b_n[/tex] er gitt slik at
[tex](1) \; b_1 \:+\: b_2 \:+\: \cdots \:+\: b_n \: \leq \: 10.[/tex]
Videre er [tex]a_1=b_1[/tex] og
[tex](2) \; a_i \:=\: sa_{i-1} \:+\: b_i[/tex]
for [tex]2 \, \leq \, i \, \leq \, n,[/tex] der
[tex](3) \; 0 \, \leq \, s \, < \, 1.[/tex]
Vis at
[tex](4) \; a_1^2 \:+\: a_2^2 \:+\: \cdots \:+\: a_n^2 \: \leq \: \frac{100}{1 - s^2}.[/tex]
Løsningsforslag: Fra (2) og (3) følger at
[tex]a_i \:=\: sa_{i-1} \:+\: b_i \: \leq \: a_{i-1} \:+\: b_i,[/tex]
som impliserer at
[tex]\sum_{i=2}^k a_i \:-\: a_{i-1} \: \leq \: \sum_{i=2}^k b_i,[/tex]
i.e.
[tex]a_k \:-\: a_1 \: \leq \: \sum_{i=2}^k b_i.[/tex]
Ved å benytte at [tex]a_1=b_1,[/tex] får vi at
[tex](5) \; a_k \: \leq \: \sum_{i=1}^k b_i.[/tex]
Videre er
[tex]\sum_{i=1}^n a_i^2 [/tex]
[tex]= \: a_1^2 \:+\: \sum_{i=2}^n (sa_{i-1} \:+\: b_i)^2[/tex] (iht. (2))
[tex]= \: b_1^2 \:+\: \sum_{i=2}^n b_i^2 \:+\: 2s \sum_{i=2}^n a_{i-1}b_i \: + \: s^2 \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2[/tex] (fordi [tex]a_1=b_1[/tex])
[tex]\leq \: \sum_{i=1}^n b_i^2 \: + \: 2\sum_{i=2}^n a_{i-1}b_i \: + \: s^2 \sum_{i=1}^n a_i^2[/tex] (iht. (3))
[tex]\leq \: \sum_{i=1}^n b_i^2 \: + \: 2\sum_{i=2}^n b_i(b_1 \:+\: b_2 \:+\: \cdots \:+\: b_{i-1}) \: + \: s^2 \sum_{i=1}^n a_i^2[/tex]
[tex]= \: (b_1 \:+\: b_2 \:+\: \cdots \:+\: b_n)^2 \: + \: s^2 \sum_{i=1}^n a_i^2[/tex]
[tex]\leq \: 10^2 \: + \: s^2 \sum_{i=1}^n a_i^2[/tex] (ifølge (1)).
Altså er
[tex](1 - s^2) \sum_{i=1}^n a_i^2 \: \leq \: 100,[/tex]
som er ekvivalent med (4). q.e.d