På slike oppgaver er det meningen å bruke kalkulator ja =)
Da løsningen av slike likninger må tilnærmes og er ikke mulig å løses eksakt ved hjelp av vanlige matematiske funksjoner. Trikset
er å bruke kalkulator, og lage en tegning for å finne nullpunktene. Eksempelvis via geogebra. Det er mulig å uttrykke løsningen ved hjelp av LambertW funksjonen, men dette er noe vanskelig grunnet konstantleddet på høyre siden.
Det enkleste om du ønsker å finne ut av hva som er best av prosentvis rente og konstant pengestrøm er nok å spørre en økonom... Men vil du regne på det er nok newtons tilnærmingsmetode veien å gå. Dette er på ingen måte pensum på videregående men mer en smakebit på senere matematikk.
Anta at f(x) er en deriverbar funksjon og at den har minst et nullpunkt og oppfører seg anstendig i et omhegn omkring et punkt a.
Dersom vi antar at [tex]x \, = \, x_0[/tex] er en tinærming, altså et greit anslag for nullpunktet så er
[tex]x_1 \, = \, x \, - \frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}[/tex]
en bedre tilnærming. Ved å bruke metoden ovenfor gjentatte ganger vil en få en bedre og bedre tilnærming for nullpunktet. Altså at
[tex]x_{n+1} \, = \, x_n \, - \, \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}[/tex]
Illustrert i påfølgende figur
Ofte er det greit og innføre en hjelpefunksjon g, bruker en dine tall definerer jeg
[tex]f(x) = 22\cdot 10^4 \cdot a^x - 12 \cdot 10^3 - 22 \cdot 10^4[/tex]
og videre
[tex]g(x) = x - \frac{f(x)}{f^\prime(x)} = x - \frac{55 \cdot a^x - 55 - 3x}{ 55 a^x \ln(a) - 3 }[/tex]
hvor [tex]a = 1.045[/tex]. Ut i fra figur eller vill og hemningsløs tipping så er
antar jeg at nullpunktet er ca [tex]10[/tex], og setter inn i [tex]g(x)[/tex].
[tex]g(10) \approx 9.455894097[/tex]
[tex]g(9.455894097) \, \approx \, 9.419658007[/tex]
[tex]g(9.419658007) \, \approx \, 9.419498562[/tex]
[tex]g(9.419498562) \, \approx \, 9.419498547[/tex]
[tex]g(9.419498547) \, \approx \, 9.419498532[/tex]
[tex]g(9.419498532) \, \approx \, 9.419498532[/tex]
Og da har vi funnet nullpunktet med [tex]10[/tex] desimalers nøyaktighet.
