Inhomogen diffligning

[Nova]

Sliter litt med å få rett svar på denne oppgaven:
y'' + 2y' + 2y = 2cos2t, y(0) = 2, y'(0) = 0

Her er sånn jeg har prøvd:

Løser homogen ligning:
y'' + 2y' + 2y = 0

Karakteristisk ligning:
${\lambda }^2+2\lambda +2=0$
$\lambda =\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i$
$y_h=C_1{e}^{-t}cost+C_2{e}^{-t}sint$
$y(0)=C_1=-2$
$\frac{d}{dx}{y}_h=-2(-e^{-t}sint+e^{-t}cost)+C_2(e^{-t}cost-e^{-t}sint)$
$\frac{d}{dx}y(0)=-2(-1)+C_2(1)=0\Rightarrow C_2=-2$
$y_h=-2e^{-t}cost-2e^{-t}sint$

Partikulærløsning
y'' + 2y' + 2y = 2cos2t
$y_p=acost(2t)+bsin(2t)$
$\frac{d}{dx}{y}_p=-2a\cdot cos(2t)+2bsin(2t)$
$\frac{d^2}{d{x}^2}{y}_p=-4a\cdot sin(2t)-4bcos(2t)$

Setter inn:
$(-4a\cdot sin(2t)-4bcos(2t))+2(-2a\cdot cos(2t)+2bsin(2t))+2(acdotcos(2t)+bsin(2t))=2cos(2t)$
$sin(2t)(-4a+4b+2b)+cos(2t)(-4b-4a+2a)=2cos(2t)$
$sin(2t)(-4a+6b)+cos(2t)(-4b-2a)=2cos(2t)$
$-4a+6b=0,-4b-2a=2$
Løser ut og får:
$a=-\frac{6}{14},b=\frac{2}{3}$
$y_p=-\frac{6}{14}cos(2t)+\frac{2}{3}sin(2t)$

Så løsningen blir:
$y=y_h+y_p$
$y=-2e^{-t}cost-2e^{-t}sint-\frac{6}{14}cos(2t)+\frac{2}{3}sin(2t)$

Noe som ikke stemmer overens med fasitsvar i det hele tatt:
$y(t)=-\frac{9}{5}{e}^{-t}cos(t)-\frac{13}{5}{e}^{-t}sin(t)-\frac{1}{5}cos(2t)+\frac{2}{5}sin(2t)$

Er jeg helt på bærtur eller er fasit feil?

[KonFuTzed]

Du har løst den karakteristiske likninga riktig, og tolket verdiene riktig slik at du har fått riktig type partikulær løsning, men du deriverer sin2t og cos2t feil.
Husk: (sin x)' = cos x og (cos x)' = - sin x. Du benytter ukjente koeffisienters metode riktig, men har altså fått inn feil i likningssettet pga av derivasjonen, og får derfor feil verdier for a og b. Her er fasitens verdier er riktig.

Ved bestemmelse av koeffisientene for løsningen av den homogene likninga får du også feil pga derivasjon av sin og cos, men det er også en uoverensstemmelse mellom randbetingelsen y(0) = 2, der du benytter y(0) = -2. Sjekk dette med oppgaveteksten. Husk også at randbetingelsene gjelder hele løsningen, ikke bare løsningen for den homogene likninga, så du må jobbe med y = y[sub]h[/sub] + y[sub]p[/sub] når du bestemmer C[sub]1[/sub] og C[sub]2[/sub].
Her har jeg sjekket svaret siden det er uklart om y(0) er 2 eller -2, så her kan jeg så langt ikke si om fasiten er rett eller ikke.

Med disse små korreksjonene tror jeg sikkert du kommer i mål.

Mye bra arbeid her. Lykke til.