Matematisk induksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Matematisk induksjon

Innlegg Nibiru » 08/03-2013 16:39

Hei, håper noen kan hjelpe meg med dette:

Bruk induksjon til å vise at denne ulikheten gjelder for alle naturlige tall [tex]n[/tex]:

[tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex]
_____________________________________________________________

Det jeg har tenkt så langt:

Trinn 1:
Beviser at formelen er riktig for [tex]n=1[/tex].
VS: [tex]1[/tex] og HS: [tex]\frac{1}{2}\cdot{1^2}=\frac{1}{2}[/tex]

Da får vi at [tex]VS>HS[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]1>\frac{1}{2}[/tex]

Formelen er riktig for n=1.

Trinn 2:

Vi går ut fra at formelen er riktig for [tex]n[/tex]. Vi skal bevise at formelen er også riktig for [tex]n+1[/tex]. Og da må vi bevise følgende ulikhet:

[tex]1+2+3+...n+(n+1)>\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]

Og nå stopper det opp for meg. Jeg skjønner vel at antakelsen våres betyr at [tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex]. Men jeg skjønner ikke hvordan ut fra det skal jeg fullføre beviset.

PS: Det er egentlig litt rart at hodet mitt vil ikke forstå dette her. Alle oppgavene med likhetstegn gikk veldig smooth, men med en gang jeg fikk en ulikhetstegn så stoppet det opp.
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Innlegg Vektormannen » 08/03-2013 17:15

Akkurat slik som du gjør når du beviser likheter med induksjon (og egentlig alltid), må du her bruke antagelsen. Det du kan si om tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er at det er større enn tallet [tex]\frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex], ikke sant? Da er du faktisk veldig nærme mål. Du ønsker å vise at det er større enn [tex]\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]. Hvis du ganger ut det uttrykket, hva får du da?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg Nibiru » 08/03-2013 19:07

Vektormannen skrev:Det du kan si om tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er at det er større enn tallet [tex]\frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex], ikke sant?


Og det kjem ut fra antagelsen, ikke sant?

Vi hadde:
[tex]1+2+3+...+n>\frac{1}{2}n^2[/tex] 
Også plusser vi på begge sider med samme tall, (n+1), og da forandrer ulikheten seg ikke. Er det slik du tenker?
[tex]1+2+3+...+n+(n+1)>\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex] 
Og da har vi vist, slik som du sier, at tallet [tex]1+2+3+...+n+(n+1)[/tex] er alltid større enn [tex]\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex].
____________

[tex]\frac{1}{2}(n+1)^2=\frac{1}{2}n^2+n+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}n^2+(n+1)[/tex]

Det betyr at vi har vist at ulikheten [tex]1+2+3+...n+(n+1)>\frac{1}{2}(n+1)^2[/tex] er riktig. Da er vi egentlig ferdige, ikke sant?

Men kan du vise meg hvordan det skal føres inn på en riktig måte, med tenke på prøve/eksamen. Læreren min er utrolig streng når det kommer til innføring og framgangsmåten. Må jeg innføre VS(venstre side) og HS slik som jeg hadde gjort i Trinn 1, eller holder det slik som jeg gjorde?
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Innlegg Vektormannen » 08/03-2013 19:35

Det du har gjort er helt riktig. :) Er slik jeg ville gjort det også.

Angående føring så syns jeg du har gjort det på en ok måte. Læreren bør ikke gi trekk for det i alle fall. Det er kanskje best om du spør ham selv, for å være sikker.

Jeg ville kanskje hatt med en oppsummering til slutt:

[tex]1+2+...+n+(n+1) > \frac{1}{2}n^2 + (n+1) > \frac{1}{2}n^2 + n + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(n+1)^2[/tex]

Da kommer det tydelig frem hvorfor de to ulikhetene (antagelsen og det at [tex]\frac{1}{2}(n+1)^2 < \frac{1}{2}n^2 + (n+1)[/tex]) impliserer den ulikheten vi vil frem til.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg Nibiru » 08/03-2013 22:22

Ok, takk for hjelp :)
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Innlegg Nibiru » 08/04-2013 09:41

Hei, jeg har en til.

Vi har gitt funksjonen:

[tex]f(x)=x\cdot{e^x}[/tex]

a) Bestem [tex]f\prime{x}[/tex] og [tex]f\prime{\prime{x}}[/tex].

[tex]f\prime{x}=e^x(1+x)[/tex]
[tex]f\prime{\prime{x}}=e^x(2+x)[/tex]

b) Det blir påstått at den n-te deriverte er gitt ved

[tex]f^{(n)}(x)=(x+n)\cdot{e^x}[/tex]

Bevis formelen for den n-te deriverte ved induksjon.

Jeg har vist at formelen stemmer for n=1. Videre skal jeg vise at den stemmer for n+1. Altså jeg skal vise at:

[tex]f^{(n+1)}(x)=(x+n+1)\cdot{e^x}[/tex]

Hvordan går jeg fram?
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Innlegg Nebuchadnezzar » 08/04-2013 09:59

Samme fremgangsmåte som før, anta at
formelen stemmer for en vilkårlig n, slik at den stemmer for n = k.

[tex]f^{k}(x) = (x + k)\cdot e^x[/tex]

og deriver begge sider.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5517
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Innlegg Nibiru » 08/04-2013 12:20

Ja, jeg har skjønt hva antakelsen betyr. Så hele poenget er at:

[tex]f^{(n+1)}(x)=f^{(n)}\prime{(x)}[/tex] ?
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Innlegg Nebuchadnezzar » 08/04-2013 12:40

Ja, er ikke det logisk?
at [tex]\left[f^\prime(x)\right]^\prime = f^{\prime\prime}(x)[/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5517
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Innlegg Nibiru » 08/04-2013 13:34

Ja, hvis du skriver det sånt så er det logisk. Det var at det ble skrevet på noe uvant måte for meg + jeg var litt usikkert om det var den riktige fremgangsmåten. Men takk for hjelpa.
Nibiru offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 230
Registrert: 14/10-2012 15:26

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 12 gjester