Sum

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Sum

Innlegg wingeer » 08/04-2013 13:42

Sitter helt fast på hvordan man finner summen av [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n} \sin(nx)[/tex]. Har tidligere funnet [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}[/tex]. Dette ved å skrive om til kompleks + logaritmer. Jeg tenker derimot at det kanskje er lettere å bruke noe Fourier her. Det kan jo fort se ut som en Fourier-rekke til en ukjent funksjon slik at å finne funksjonen vil spytte ut riktig svar?
Kan det kanskje ha noe med kjerner å gjøre?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
wingeer offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 414
Registrert: 24/05-2008 16:22
Bosted: Trondheim

Innlegg Gustav » 08/04-2013 19:32

Er det denne du driver med? :

https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4170/2013v/fou4.pdf

På oppgave 1 , formel 2, må det da være noe feil.

Lar f.eks. x=1. Da er [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)^2}{n}[/tex] divergent ifølge wolframalpha.

Skal det være [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}\sin(nx)[/tex] tro..?
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Innlegg wingeer » 08/04-2013 19:58

Det er den, ja. Henger litt etter i faget, hehe.
Jeg fikk det i alle fall ikke til å stemme med det man skulle konkludere med, så det virker ikke helt usannsynlig at det er noe feil der. Dersom man tar [tex]n^2[/tex] følger i alle fall den slutningen veldig lett.
Det må være i annen. Har du uansett noen tips til fremgangsmåte for å vise hva rekken konvergerer til?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
wingeer offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 414
Registrert: 24/05-2008 16:22
Bosted: Trondheim

Re: Sum

Innlegg Gustav » 10/04-2013 21:28

La $f(x)=\frac12 (\pi-1)x$ for $0\leq x\leq 1$ og $f(x)=\frac12(\pi-x)$ for $1\leq x \leq \pi$. Se på den odde $2\pi$-periodiske utvidelsen av f(x).

Har du beregnet Fourier(sinus)rekka til $f(x)$? Hva blir i så fall Fourierkoeffisientene? Slik jeg tolker oppgaven er det vel meningen at koeffisientene skal blir $\frac{\sin(n)}{n^2}$ ?

PS: Det er definitivt en feil oppgaven. Det skal stå $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}\sin(nx) = ...$ Da stemmer i alle fall formlene fra oppgavesettet, slik at rekka konvergerer mot funksjonen f(x) definert over (Bruk Weierstrass M-test for å vise konvergens, og siden rekka konvergerer må den konvergere mot f(x) siden f(x) er kontinuerlig og Cesaro summerbar). Og da følger også den siste likheten i oppgave 1 ved å la x=1.

Siden oppgaven bruker formuleringen "verifisér" tolker jeg det slik at man skal gjøre det slik jeg skisserte her.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Sum

Innlegg wingeer » 13/04-2013 15:16

Det løste seg ved å følge rådene dine.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
wingeer offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 414
Registrert: 24/05-2008 16:22
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester