Vektorfunksjon R1

[kovu]

Hei,

Jeg sliter litt med en vektoroppgave i R1.


[tex]\rightarrow[/tex]
r (t) = [tex]\left [ t^2-4t,2t+3 \right ][/tex]

Oppgaven er:
Finn det punktet der banefarten er minst.

[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]
v (t) = r ' (t) = [tex]\left [ 2t-4,2 \right ][/tex]

Hva gjør jeg nå? Jeg er veldig forvirret hvordan jeg skal finne bunnpunktet. Skal jeg sette fartsvektoren = 0, så får jeg en t-verdi som jeg setter inn i uttrykket for banefart?

Jeg vet at banefart er lengden av fartsvektoren, altså:
[tex]\rightarrow[/tex]
[tex]\left | v(t) \right |[/tex]

[Vektormannen]

Velkommen!

Hva blir uttrykket for banefarten da? Enig i at det blir en funksjon av t? Hvordan pleier du å finne ut hvor funksjoner er minst / størst?

[kovu]

Ja, enig i det.

[tex]\rightarrow[/tex]
[tex]\left | v(t) \right |[/tex] = [tex]\sqrt{4t^2-16t+20}[/tex]

Derivasjon. Jeg tenkte opprinnelig å derivere akselerasjonsfarten, men dette blir jo feil. Kan jeg muligens sette den deriverte av banefarten lik 0? Når jeg gjør dette får jeg t=2. Når jeg setter det inn i det opprinnelige funskjonsuttrykket får jeg:
[tex]\rightarrow[/tex]
r(2) = [tex]\left [ 2^2-4*2,2*2+3 \right ][/tex] = [tex]\left [ -4,7 \right ][/tex]

Det gir jo da punktet (-4,7). Kan dette stemme?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer det.

[kovu]

Ja! Tusen takk for hjelpen!

[Vektormannen]

Her kunne vi faktisk gjort det litt enklere siden y-komponenten av fartsvektoren alltid er konstant (2). Det betyr at farten må være minst når fartsvektoren ikke har noen utstrekning i x-retning, altså når x-komponenten er 0. Det gir da at [tex]2t - 4 = 0 \ \Rightarrow \ t = 2[/tex]. Tenkte bare å nevne det. Å derivere banefarten er selvfølgelig like riktig, og hvis både x- og y-komponenten av fartsvektoren hadde vært avhengig av t så ville det vært den greieste måten å gjøre det på.

[kovu]

Ja, tenkte meg at det var en eller annen sammenheng da en annen deloppgave ga akkurat likt punkt. Den andre deloppgaven var å finne punktet der fartsvektoren er parallell med y-aksen. Jeg ser nå hvorfor begge deloppgavene gir samme punkt. Takk igjen for at du tok deg tid til å svare!

[kovu]

Jeg sliter litt med en ny deloppgave som følger til den tidligere oppgaven.

1. En annen partikkel beveger seg langs en rett linje som går gjennom punktet (-6,0) og som har retningsvektor [tex]\left [ 1,3 \right ][/tex]. Finn eksakte verdier for skjæringspunktene mellom denne linja og kurven (dette er funksjonsvektoren som skrevet tidligere).

Denne oppgaven fikk jeg til. Jeg løste den ved regning og fikk skjæringspunktene [tex]\left ( -\frac{35}{9} , \frac{19}{3} \right )[/tex] og [tex]\left ( -3,9 \right )[/tex].

2. Vi tenker oss nå at denne andre partikkelen beveger seg langs den rette linja med konstant fart, og at t er tiden målt i sekunder. Den starter i punktet (-6,0) og er i punktet (-5,3) etter 1 s.

Den første partikkelen starter nå i punktet (0,3), og posisjonen etter t sekunder er gitt ved samme vektorfunksjon som på starten av oppgaven,
→
r (t) = [t2−4t,2t+3] , men nå skal t være positiv.

Finn ut om de to partiklene er i ett eller flere av skjæringspunktene fra forrige deloppgave samtidig.

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal gå frem. Punktene til den andre partikkelen utgjør retningsvektoren som vi har fått oppgitt og denne linjen er vel ikke endret fra den første deloppgaven?
Jeg har prøvd å fremstille denne oppgaven grafisk med t-verdier større enn null. Da blir dette feil. Det jeg ser er at begge partiklene er i begge skjæringspunktene samtidig, men fasiten sier kun punkt (-3,9). Er det noen som kan hjelpe meg å komme i gang?

[Vektormannen]

Først og fremst trenger du vel parameterfremstillingen til den andre partikkelen også. Du kjenner to punkt på linja den beveger seg langs, og tiden mellom dem. Når du har gjort det så kan du rett og slett se om det er den samme t-verdien for de to fremstillingene som gir (-3, 9), og om det er den samme t-verdien for begge to som gir det andre punktet.

[kovu]

Jeg har litt vanskeligheter med å forstå hva du mener.

Parameterfremstillingen jeg brukte for den første partikkelen var: [tex]x = t^2-4t[/tex] [tex]\cap[/tex] [tex]y = 2t+3[/tex]
Parameterfremstillingen jeg brukte for den andre partikkelen var: [tex]x = -6-k[/tex] [tex]\cap[/tex] [tex]y= -3k[/tex]

Skal disse forandres? Eller skal jeg sette k = t og løse det på den måten?

[Vektormannen]

Her må k = t ja, siden parameteren her skal være tiden som har gått. Hvis vi skal se om begge partiklene er på samme sted til samme tid må de da ha samme parameter.

Beklager, jeg var sikkert litt uklar i sted. Det jeg mente var at du kan finne ut hvilken t-verdi som gjør at du får ut punktet (-3, 9) fra den ene parameterfremstillingen, og se om det blir den samme t-verdien som gjør at du får (-3, 9) ut fra den andre parameterfremstillingen, og tilsvarende for det andre punktet.

Eventuelt kan du sette x-komponenten i den ene fremstillingen lik x-komponenten i den andre, og tilsvarende for y-komponentene. Da får du to ligninger for t som gir deg tidspunktet/ene der begge partiklene er på samme sted.

[kovu]

Jeg tror jeg skjønte det nå. Jeg skal se over oppgaven etterpå. Takk for nyttig hjelp!

--

Ser hva jeg hadde feil nå. Kun en fortegnsfeil i parameterfremstillingen. Merkelig nok fikk jeg ikke feil på den tidligere deloppgaven.