Enkel derivasjon..

[Kjos]

Hei.

Sitter nå og ser på en oppgave som lyder

"Deriver uttrykkene"

b) ln 3x

Har fått 1/3x * 3 som blir 1/x.

Er dette riktig? I så fall, hvorfor? Vet ikke faktisk hvordan jeg har gått frem, men sliter med å se hvordan (ln3x)' blir dette.

[Vektormannen]

Det stemmer dette. Det ser vi ved å bruke kjerneregelen: [tex](\ln(3x))^\prime = \frac{1}{3x} \cdot (3x)^\prime = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}[/tex]. Det var kanskje slik du tenkte? Eventuelt kan vi tenke slik: [tex]\ln(3x) = \ln 3 + \ln x[/tex]. [tex]\ln 3[/tex] er jo bare en konstant (med derivert lik 0), altså er [tex](\ln(3x))^\prime = (\ln 3 + \ln x)^\prime = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}[/tex].

[Kjos]

Det stemmer dette. Det ser vi ved å bruke kjerneregelen: [tex](\ln(3x))^\prime = \frac{1}{3x} \cdot (3x)^\prime = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}[/tex]. Det var kanskje slik du tenkte? Eventuelt kan vi tenke slik: [tex]\ln(3x) = \ln 3 + \ln x[/tex]. [tex]\ln 3[/tex] er jo bare en konstant (med derivert lik 0), altså er [tex](\ln(3x))^\prime = (\ln 3 + \ln x)^\prime = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}[/tex].

Var kjerneregelen jeg tenkte på ja, men merker at jeg skjønner mindre av den enn det jeg gjorde før. Skjønner ikke hvordan det plutselig blir 1/3x.

(lnx)' er 1/x.

Er det derfor (ln3x) blir 1/3x?

[Vektormannen]

EDIT: Ja, det er fordi [tex](\ln x)^\prime = \frac{1}{x}[/tex] at vi får [tex]\frac{1}{3x}[/tex].

En litt lengre forklaring hvis du lurte på noe mer generelt om kjerneregelen: Kjerneregelen brukes når vi har med sammensatte funksjoner, slik som denne, å gjøre. Da har vi to eller flere funksjoner der resultatet av den ene funksjonen (som vi kaller den indre funksjonen eller kjernen) skal settes inn i den andre funksjonen (som vi kaller den ytre funksjonen). I ditt tilfelle har du en funksjon [tex]h(x)[/tex] som er sammensatt av [tex]g(x) = 3x[/tex] (indre) og [tex]f(x) = ln x[/tex] (ytre). Vi kan da skrive [tex]h(x) = f(g(x)) = f(3x) = \ln(3x)[/tex]. Behovet for kjerneregelen oppstår når vi skal derivere en slik funksjon. Husk at når vi deriverer så finner vi hvor raskt funksjonen vokser eller synker. Når vi har med en slik sammensatt funksjon å gjøre så vil jo både den indre og den ytre funksjonen ha noe å si, ikke sant? Hvis det vi putter inn i den ytre funksjonen vokser veldig raskt så bør jo det påvirke resultatet, men kanskje ikke hvis den ytre funksjonen til gjengjeld vokser veldig sakte. Det er nettopp disse vekstfaktorene som tas med i kjerneregelen ved at vi ganger sammen de deriverte av henholdsvis den indre og den ytre funksjonen.

Formelen [tex](f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x)[/tex] uttrykker nettopp det jeg sa ovenfor: Vi tar hvor raskt den indre funksjonen [tex]g[/tex] vokser, altså [tex]g^\prime(x)[/tex], og multipliserer det med hvor raskt den ytre funksjonen [tex]f[/tex] vokser. Men da må vi huske på at det er ikke i punktet [tex]x[/tex] vi skal ta stigningen til funksjonen f, det er i punktet [tex]g(x)[/tex]. Derfor ganger vi med [tex]f^\prime(g(x))[/tex].

EDIT2: rot

[Kjos]

Takk for veldig godt og utfyllende svar. Tror jeg skjønner mer nå - det eneste er at jeg fra tid til annen går i surr hva angår f(x) og g(x). Med andre ord sliter jeg litt med hvordan jeg skal angripe funksjonen og kategorisere hva som er g og det som følger med.

Har ikke tentamen før torsdag, så regner med at jeg skal få dette ordentlig på plass før den tid.

[Aleks855]

Takk for veldig godt og utfyllende svar. Tror jeg skjønner mer nå - det eneste er at jeg fra tid til annen går i surr hva angår f(x) og g(x). Med andre ord sliter jeg litt med hvordan jeg skal angripe funksjonen og kategorisere hva som er g og det som følger med.

Har ikke tentamen før torsdag, så regner med at jeg skal få dette ordentlig på plass før den tid.

Kjerneregelen kan være litt kjip i starten. Sånn var det for meg også.

Hvis du vil se noen eksempler, så har jeg noen i denne spillelista: http://udl.no/matematikk/oppgaver

Der er det en del "Derivasjonsoppgave"-videoer, deriblant noen med kjerneregel. Denne likner kanskje litt på den du drev med nå: http://udl.no/matematikk/oppgaver/deriv ... eregel-339