Skjæringskurve og flate R2

[equinox]

Jeg har løst deler av en oppgave hvor du har en flate med sentrum i origo og r=8, en har et plan 2x2y-z=18 hvor avstanden fra O til planet er 6. Så kommer siste deloppgave: Skjæringskurven mellom flaten og planet er en sirkel, Bestem r og s i sirkelen. Hva mener de med skjæringskurven?
Og hvilken ende begynner jeg i?

[Vektormannen]

Planet vil her snitte kula i to, siden det er nærmere sentrum enn radiusen. Der hvor planet og kula snitter får vi da en sirkel. Denne figuren beskriver situasjonen (tenk deg at sirkelen du ser der ligger i planet):



Får du noen ideer fra denne figuren?

[equinox]

Siden jeg vet normalvvektoen til planet 2,2,-1 og sentrum på skjæringssirkelen kan gå langs normalvektor gjennom origo av opprinnelige sirkel og at lengden mellom de to sentrumene skal være 6, må jeg kunne bruke det for å finne koordinatene til sentrum på skjæringssirkel.

Hvis jeg da i tillegg finner et skjæringspunktet mellom plan og sirkel kan jeg regne ut r til skjæringssirkel.

Men det stopper der, klarer ikke se hvordan?

[Nebuchadnezzar]

Du vet allerede at $OP = 6$ og at $OP = 8$. Da $OP$ er korteste avstand fra sentrum til planet, og $OP$ er korteste avstand fra sentrum til kula.
Dette funker dog fordi sentrum av kulen er i origo, ellers måtte du ha funnet korteste avstand fra sentrum av kula til planet =)

[equinox]

ja men OP gir meg ikke svar på oppgaven som spør etter r i skjæringssirkelen, og om koordinatene til s i skjæringssirkelen.

[Nebuchadnezzar]

Du vet allerede sentrum i sirkelen ikke sant? Det bruker du normalvektoren til og lager ei linje som skjærer planet i Q.
For å finne $PQ$ kan du benytte deg av pytagoras =)

$$ PQ^2 = OP^2 + QO^2 $$

Der $OQ = 6$ og $OP = 8$.

[equinox]

Den er grei, kan bruke pytagoras for å finne lengden av OP som blir 5,29. Men hvordan finner jeg koordinatene til punktet Q? (som er sentrum av skjæringssirkelen?.

[Vektormannen]

Er du med på at [tex]\vec{OQ}[/tex] er parallell med normalvektoren til planet? Du vet da at Q er det punktet langs [tex]\vec{OQ}[/tex] som har avstand 6 fra O. Tar du resten da?

[equinox]

Det er akkurat det som er så latterlig, jeg vet at den er parallell med OQ, og at lengden er 6, men jeg klarer ikke finne ut hvordan jeg finner posisjonen, jeg vet jeg har gjort tilsvarende før, og jeg er sikker på at det kanon enkelt, men jeg får det ikke til

[Vektormannen]

Hehe, ok, lengden av normalvektoren er [tex]\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3[/tex]. Det er akkurat halvparten av avstanden fra O til Q. Kan du finne Q da?

[equinox]

Endelig, der så jeg lyset. (4,4,-2)

[Vektormannen]