Diff.ligninger og konstante løsninger.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Snart eksamen
Separable differensialligninger har såkalte konstante løsninger ( g(y) = 0 ). Finnes slike konstante løsninger også hos de linære diff.ligningene? eller er det pga de separables natur ( y' = f(x)*g(y) ) at vi kan finne de når g(y) = 0?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
En separabel differensiallikning har formen
(1) dy/dx = f(x)g(y).
Standard løsningsmetode for denne typen differensiallikninger er å omforme dette til
dy/g(y) = f(x)dx
og deretter integrere begge sider. Dette forutsetter at g(y)<>0. Hvis g(y)=0, blir dy/dx=0 ifølge (1), så y=k der k er en konstant som er slik at g(k)=0.
En lineær differensiallikning av n'te grad har formen
(2) a[sub]n[/sub](x)y[sup](n)[/sup] + a[sub]n-1[/sub](x)y[sup](n-1)[/sup] + ... + a[sub]1[/sub](x)y' + a[sub]0[/sub](x)y = f(x)
der a[sub]i[/sub] og f er funksjoner definert på et bestemt intervall. Dersom denne skal ha en konstant løsning y=k, blir
y' = y' = ... = y[sup](n)[/sup] = 0, som innsatt i (2) gir
(3) a[sub]0[/sub](x)k = f(x).
Altså har (2) maksimalt en konstant løsning y=k, og en slik løsning forutsetter at a[sub]0[/sub] og f er proporsjonale. Dermed er det også lett å sjekke om (2) har en konstantløsning og hva denne er.
For øvrig vi en (eventuell) konstantløsning være innebakt i en den generelle løsningen av (2). F.eks. vil den førsteordens lineære differensiallikningen
(4) y' + xy = x
ha konstantløsningen y=1. Den generelle løsningen av (4) er
(5) y = 1 + Ce^(-x[sup]2[/sup]/2)
der C er en vilkårlig konstant. Ved å velge C=0 får vi konstantløsningen y=1.
En vesensforskjell på lineære og separable differensiallikninger er altså at konstantløsningen(e) er innebakt i det generelle løsningen i det "lineære" tilfellet, men ikke i det "separable" tilfellet.
(1) dy/dx = f(x)g(y).
Standard løsningsmetode for denne typen differensiallikninger er å omforme dette til
dy/g(y) = f(x)dx
og deretter integrere begge sider. Dette forutsetter at g(y)<>0. Hvis g(y)=0, blir dy/dx=0 ifølge (1), så y=k der k er en konstant som er slik at g(k)=0.
En lineær differensiallikning av n'te grad har formen
(2) a[sub]n[/sub](x)y[sup](n)[/sup] + a[sub]n-1[/sub](x)y[sup](n-1)[/sup] + ... + a[sub]1[/sub](x)y' + a[sub]0[/sub](x)y = f(x)
der a[sub]i[/sub] og f er funksjoner definert på et bestemt intervall. Dersom denne skal ha en konstant løsning y=k, blir
y' = y' = ... = y[sup](n)[/sup] = 0, som innsatt i (2) gir
(3) a[sub]0[/sub](x)k = f(x).
Altså har (2) maksimalt en konstant løsning y=k, og en slik løsning forutsetter at a[sub]0[/sub] og f er proporsjonale. Dermed er det også lett å sjekke om (2) har en konstantløsning og hva denne er.
For øvrig vi en (eventuell) konstantløsning være innebakt i en den generelle løsningen av (2). F.eks. vil den førsteordens lineære differensiallikningen
(4) y' + xy = x
ha konstantløsningen y=1. Den generelle løsningen av (4) er
(5) y = 1 + Ce^(-x[sup]2[/sup]/2)
der C er en vilkårlig konstant. Ved å velge C=0 får vi konstantløsningen y=1.
En vesensforskjell på lineære og separable differensiallikninger er altså at konstantløsningen(e) er innebakt i det generelle løsningen i det "lineære" tilfellet, men ikke i det "separable" tilfellet.