Noen oppgaver Mattematikk R2

[Urosmooth]

Oppgave 1: Maria har bestemt seg for å sette inn 20 000 kr på en sparekonto ved begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter hun inn i 2013, det andre beløpet i 2014, og så videre. Anta at renten er 3.75% per år i hele spareperioden.

Oppgave a) Hvor mye kommer Maria til å ha på kontoen rett etter innskuddet i 2025? Da fant jeg ut at hun har 327 351

Oppgave b) Fra og med 2026 skal maria øke det årlige innskuddet med 20% for hvert år. I begynnelsen av 2026 setter hun altså inn 24 000 kr, og så videre. Når har Maria spart til sin første million om hun følger planen? (Jeg skjønner ikke helt hvilken formel jeg skal bruke, det blir jo på en måte 2 kvotienter)

Oppgave 2: En kule har sentrum i punktet S=(-2,0,1) Punktet P=(-2,-1,3) ligger på kuleflaten, men det gjør ikke punktet Q=(4,4,4)

Oppgave a) Et plan R står vinkelrett på linje m og tangerer kuleflaten. Hva kan likningen for R være? Linje M= X=4+6t Y=4+4t Z=4+3t

Oppgave 3: Oppgave a) F(x)= 4sqrt(2)*e^(-0.5x) sin((pi*x)+(pi/4)) Finn ved regning koordinatene til topp og bunnpunktene på grafen til f for x[0,4] Her skal jeg vel bruke produktregelen og derivere, men klarer ikke å faktorisere det riktig tror jeg.

Oppgave b) Grafen g(x)= m*e^(nx) går gjennom samtlige toppunkter til grafen til f(x) Bestem verdien av m og n. Her er vel m og n konstanter. Jeg tipper vel at man skal derivere g(x) og sette g'(x)=0 Blir det da m*n*e^(nx) ??

Oppgave 4: Cesiumisotopen var et avfallsprodukt som spredte seg over Europa etter Tsjernobylulykken i 1986. Målinger på norsk villreinkjøtt i 1987 avslørte nivåer av radioaktivt cesium på omtrent 13 000 Bq/kg. Henry felte i 1987 en norsk villrein og har ennå kjøttet i fryseren. Radioaktiviteten A etter t år i dette reinsdyrkjøttet er gitt ved diffrensiallikningen A'=-0,023A

Oppgave a) Hvor stor er radioaktiviteten i Henrys reinsdyrkjøtt nå, i følge denne modellen? Aner ikke hvordan man skal gjøre denne. Har det ikke noe med vekstfart å gjøre?

Oppgave b) Mattilsynet oppgir en grenseverdi på 3000 Bq/kg for radioaktivt cesium. Når kan henry tidligst spise reinsdyrkjøttet sitt hvis han skal ta hensyn til grenseverdien som Mattilsynet har satt? Litt lost på denne også

På forhånd takk for hjelpen!

[Vektormannen]

1 a) Jeg er enig.

b) Her kan det være lurt å tenke på en ny rekke som starter i 2026. Hun har spart sin første million når den rekka har en sum som er større enn 672 648, ikke sant? I den nye rekka blir det på en måte to kvotienter som du sier, men du kan kombinere disse til én. Ser du hvordan?

2 a) Hva har du tenkt? Her har du i alle fall normalvektoren til planet, ikke sant? Det du mangler da er et punkt du vet ligger i planet. Da må du benytte deg av at planet skal tangere kuleflaten. Prøv å tegne en figur av dette, så ser du kanskje hvordan du kan finne et/flere punkt som oppfyller det.

3 a) Ta derivasjonen først, så kan vi se på faktorisering og forenkling etterpå

b) Hvis du gjør a) først så vet du hvor topp-punktene til f forekommer. Da kan du ganske lett finne hva m og n er (merk deg at g(x) har samme form som f(x) når vi ser bort fra sinus-faktoren i f(x)).

4 a) Modellen her er at radioaktiviteten A skal oppfylle differensialligningen A' = -0.023A. For å finne radioaktiviteten i dag må du da først finne et funksjonsuttrykk for A(t). Da må du løse diffligningen, ikke sant?

b) Denne kan du se på når du har løst diffligningen.

[Urosmooth]

1 a) Jeg er enig.

b) Her kan det være lurt å tenke på en ny rekke som starter i 2026. Hun har spart sin første million når den rekka har en sum som er større enn 672 648, ikke sant? I den nye rekka blir det på en måte to kvotienter som du sier, men du kan kombinere disse til én. Ser du hvordan?

2 a) Hva har du tenkt? Her har du i alle fall normalvektoren til planet, ikke sant? Det du mangler da er et punkt du vet ligger i planet. Da må du benytte deg av at planet skal tangere kuleflaten. Prøv å tegne en figur av dette, så ser du kanskje hvordan du kan finne et/flere punkt som oppfyller det.

3 a) Ta derivasjonen først, så kan vi se på faktorisering og forenkling etterpå

b) Hvis du gjør a) først så vet du hvor topp-punktene til f forekommer. Da kan du ganske lett finne hva m og n er (merk deg at g(x) har samme form som f(x) når vi ser bort fra sinus-faktoren i f(x)).

4 a) Modellen her er at radioaktiviteten A skal oppfylle differensialligningen A' = -0.023A. For å finne radioaktiviteten i dag må du da først finne et funksjonsuttrykk for A(t). Da må du løse diffligningen, ikke sant?

b) Denne kan du se på når du har løst diffligningen.

Oppgave 1) Vil det ikke bli (327351+20 000*1.2)+1.0375 første året. 2 året blir (327351+20 000*1.2^2)*1.0375^2 Er dette riktig? Men skjønner ikke helt hvordan du skal ta dette inn i formelen for geometrisk rekke. Fordi a1 blir jo forskjellig fra gang til gang.

Oppgave 2) Jeg tenker at jeg finner legden av vektoren SP for å finne radien. Vektor SP=sqrt(5) Så må jeg vel finne det punktet der linjen m tangerer. Dette er jeg litt usikker på hvordan man gjør.

Oppgave 3) Her fikk jeg -2sqrt(2)*e^(-0.5x)*sin(pi*x+pi/4)+4sqrt(2)*e^(-0.5x)*cos(pi*x+pi/4)*pi

b) Fant topp punktene ved hjelp av geogebra: som var (0.2,5.1) og (2.2, 1.9) Da for jeg 2 ligninger som blir m*e^(0.2n)=5.1 og m*e^(2.2n)=1.9 Skal jeg ta finne den ene ukjente og sette inn i den andre ligningen? Altså n= (ln (1.9/m)/2.2 Blir dette riktig? Får det ikke helt til å funke.

Oppgave 4 Diff ligningen blir vel A= -0.0115A^2 +C A(0)=13000 A=-0.0115A +13000 Hvis jeg setter inn antall år i ligningen for jeg liksom -7.774. Dette blir jo helt feil!

Fikk står ganske fast på disse oppgavene

[Vektormannen]

1 b) Beklager, der blingset jeg ja. De 327 351 hun har tjent vil jo fortsatt forrentes. Så neste år har disse blitt til 327 351 * 1.0375, året etter til 327 351 * 1.0375^2, og så videre. Du kan fortsatt se på dette som to separate rekker, jeg glemte bare å ta hensyn til denne renten. Når det gjelder den nye rekken så tror jeg du er litt innpå hvordan den blir. Hva blir kvotienten? Det stemmer at a1 blir forskjellig for hver gang, avhengig av hvor mange år som er gått.

2) Nå som du har funnet radien i kula så vet du hvor lang avstanden er fra sentrum til planet. For å finne punktet kan du tenke på flere måter. Du er kanskje mest komfortabel med å bruke parameterfremstillinger? I såfall kan du lage deg en parameterfremstilling for en linje, la os skalle den [tex]l[/tex] som har samme retning som [tex]m[/tex], men som går gjennom sentrum i kula. Denne linja og planet vi skal finne må ha et punkt felles, ikke sant? Kan du finne det punktet basert på avstanden du fant?

3) Derivasjonen ser korrekt ut . Neste steg er da å faktorisere. Hvilke faktorer er felles i begge ledd her?

b) Her kan du faktisk klare deg uten å vite topp-punktene i det hele tatt! Hvis vi ser på den opprinnelige funksjonen så er det en [tex]e^x[/tex]-sak ganget med en sinusfunksjon. Topp-punktet forekommer når sinus er lik 1, ikke sant? (Sinus har alltid verdier mellom -1 og 1). Men hvordan ser [tex]f(x)[/tex] ut når vi vet at sinus er lik 1 (dvs. i topp-punktene)? Kan du sammenligne det med [tex]g(x)[/tex] og finne m og n på den måten? Det skal nevnes at det du har tenkt her ikke er feil det heller, men det blir ikke fullt så nøyaktig.

4) Det er ikke helt riktig. Denne diff.ligningen er en såkalt separabel ligning, så vi kan gjøre slik: [tex]\frac{1}{A}A' = -0.023[/tex], og deretter integrere begge sider med hensyn på t. Dette er den vanlige metoden, som helt sikkert er beskrevet i boken din.

[Urosmooth]

1 b) Beklager, der blingset jeg ja. De 327 351 hun har tjent vil jo fortsatt forrentes. Så neste år har disse blitt til 327 351 * 1.0375, året etter til 327 351 * 1.0375^2, og så videre. Du kan fortsatt se på dette som to separate rekker, jeg glemte bare å ta hensyn til denne renten. Når det gjelder den nye rekken så tror jeg du er litt innpå hvordan den blir. Hva blir kvotienten? Det stemmer at a1 blir forskjellig for hver gang, avhengig av hvor mange år som er gått.

2) Nå som du har funnet radien i kula så vet du hvor lang avstanden er fra sentrum til planet. For å finne punktet kan du tenke på flere måter. Du er kanskje mest komfortabel med å bruke parameterfremstillinger? I såfall kan du lage deg en parameterfremstilling for en linje, la os skalle den [tex]l[/tex] som har samme retning som [tex]m[/tex], men som går gjennom sentrum i kula. Denne linja og planet vi skal finne må ha et punkt felles, ikke sant? Kan du finne det punktet basert på avstanden du fant?

3) Derivasjonen ser korrekt ut . Neste steg er da å faktorisere. Hvilke faktorer er felles i begge ledd her?

b) Her kan du faktisk klare deg uten å vite topp-punktene i det hele tatt! Hvis vi ser på den opprinnelige funksjonen så er det en [tex]e^x[/tex]-sak ganget med en sinusfunksjon. Topp-punktet forekommer når sinus er lik 1, ikke sant? (Sinus har alltid verdier mellom -1 og 1). Men hvordan ser [tex]f(x)[/tex] ut når vi vet at sinus er lik 1 (dvs. i topp-punktene)? Kan du sammenligne det med [tex]g(x)[/tex] og finne m og n på den måten? Det skal nevnes at det du har tenkt her ikke er feil det heller, men det blir ikke fullt så nøyaktig.

4) Det er ikke helt riktig. Denne diff.ligningen er en såkalt separabel ligning, så vi kan gjøre slik: [tex]\frac{1}{A}A' = -0.023[/tex], og deretter integrere begge sider med hensyn på t. Dette er den vanlige metoden, som helt sikkert er beskrevet i boken din.

1) Skjønner ikke helt hvordan denne oppgaven skal løses. Jeg klarer den hvis jeg løser den "manuelt" og prøver meg frem og bruker 2 forsjellige rekker. Men dette er ikke matte føler jeg. Skjønner ikke helt hvordan du kan danne en felles kvotient.

2) Parameter fremstillingen for linjen L blir x= -2+6t y=4t z=1+3t De vil ha et fellespunkt der linjen L skjærer kuleflaten/tangerer. Ville satt inn radien i parameterfremstillingen, for å finne punktet der linjen L skjærer kuleflaten.Å så finne plan ligningen, men får feil svar.

4) Jeg får ln A+ C= -0.023t+C A=e^(-0.023t)+C Men svaret blir A=(e^(-0.023t))*C Hvorfor blir det ganger her og ikke pluss? Alle andre diff ligninger jeg har løst har jeg alltid fått + C


3) Denne skal jeg grubble litt mer på

[Vektormannen]

1) Det er absolutt matte å prøve seg frem også, men jeg skjønner hva du mener. La oss si det har gått n år etter 2025. Når n = 1 så er vi ved slutten av 20206. Da har hun satt inn 24000, som har blitt forrentet én gang. Neste år har hun satt inn 24000*1.2, som har blitt forrentet én gang. Det forrige innskuddet har blitt forrentet to ganger. Summen er da, hvis vi starter med det siste innskuddet først: [tex]24000 \cdot 1.2 \cdot 1.0375 + 24000 \cdot 1.0375^2[/tex]. Når n = 4 har vi, ved samme tankegang, at rekken blir [tex]24000 \cdot 1.2^3 \cdot 1.0375 + 24000 \cdot 1.2^2 \cdot 1.0375^2 + 24000 \cdot 1.2 \cdot 1.0375^3 + 24000 \cdot 1.0375^4[/tex]. Dette er en geometrisk rekke. Vi ser at for hvert ledd forsvinner én faktor 1.2, men så ganges det med en ny 1.0375. Kvotienten blir da [tex]\frac{1.0375}{1.2}[/tex]. Er du med så langt? Generelt da kan vi si at etter år n så har vi rekken [tex]24000 \cdot 1.2^{n-1} \cdot 1.0375 + 24000 \cdot 1.2^{n-2} \cdot 1.0375^2 + ... + 24000 \cdot 1.0375^n[/tex]. Da kjenner vi både [tex]a_1[/tex], og vi kjenner kvotienten. Da vil sumformelen for en geometrisk rekke gi et uttrykk for hvor stor summen har blitt etter n år. Når du har funnet det uttrykket kan du sette opp en ligning som har n som ukjent, der du setter opp at [tex]327351 \cdot 1.0375^n + S_n = 1000000[/tex] (der [tex]S_n[/tex] er uttrykket for summen). Dette blir da en ligning der n forekommer i diverse eksponenter, og sånne ligninger kan du løse med logaritmer.

2) Da er du veldig nærme svaret . Å sette inn radien som t-verdi (slik jeg forstår deg?) vil ikke gi det riktige punktet, for her er lengden av retningsvektoren lik [tex]\sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{61}[/tex]. Det betyr at når du setter inn radiusen så finner du det punktet på linja som har en avstand lik radiusen ganger [tex]\sqrt{61}[/tex], og det punktet vil jo ikke ligge på kuleflaten. Hva om vi i stedet setter inn [tex]t = \frac{\sqrt 5}{\sqrt{61}}[/tex]?

4) Nesten i mål her! Når du har [tex]\ln a + C = -0.023t[/tex] og opphøyer med e som grunntall på begge sider slik du har gjort her, så får du [tex]e^{\ln a + C} = e^{-0.023t}[/tex]. På venstre side får vi da [tex]e^{\ln A} \cdot e^C[/tex] ved å bruke regelen vi har for å opphøye noe i en sum. Vi får altså da [tex]A \cdot e^C = -0.023t[/tex]. Deler vi på [tex]e^C[/tex] så får vi [tex]A = -0.023t \cdot \frac{1}{e^C}[/tex]. Men her er jo [tex]\frac{1}{e^C}[/tex] bare en ny konstant, som vi f.eks. kan kalle D. Da har vi [tex]A = e^{-0.023t} \cdot D[/tex]. At konstanten heter D har ikke noe å si. Poenget er at løsningen er på formen [tex]e^{-0.023t[/tex] ganget med en eller annen konstant.