Romgeometri - motsigende konklusjon

[hamilton]

Har et spørsmål når det gjelder romgeometri. Hvor er det logikken brister?

Har et punkt A (1,2,3) og en parameterfremstilling $m:\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=-2+2t\\ z=-1+2t\end{array}$

Disse danner planet $\alpha$, som har normalvektor $\overrightarrow{n}=[0,1,-1]$.

Har gitt en annen linje r gitt ved $r:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=3-3t\\ z=1+k\cdot t\end{array}$

Skal nå undersøke om det finnes en k slik at linja r står vinkelrett på planet $\alpha$.

Hvis retningsvektoren til m som jo utspenner planet $\alpha$ står vinkelrett på retningsvektoren til linja r skulle man jo tro at linja står vinkelrett på planet $\alpha$. Det gir en $k=\frac{7}{2}$.

Men, for at linja n skal være vinkelrett på planet $\alpha$ må jo også retningsvektoren til n være parallell med normalvektoren til planet $\alpha$, altså må $[0,1,-1]\cdot t=[1,-3,k]$, og det ser vi er umulig.

Dermed blir mine to konklusjoner motsigende - hvor er feilen?

[wingeer]

Hvis retningsvektoren til m som jo utspenner planet $\alpha$ står vinkelrett på retningsvektoren til linja r skulle man jo tro at linja står vinkelrett på planet $\alpha$. Det gir en $k=\frac{7}{2}$.

Dette vil generelt ikke gjelde. Det er lett tenke seg uendelig mange vektorer som er vinkelrette med retningsvektoren, men kun en av disse vil være parallell med planet. To linjer som ligger i samme plan kan fint stå vinkelrett på hverandre.

[hamilton]

Hmmm, så feilen er altså at selv om prikkproduktet mellom to vektorer u og v i tre dimensjoner blir 0, er det ikke nødvendigvis slik at de står vinkelrett på hverandre og den ene er parallell med normalvektoren til planet spent ut av en av de to vektorene?

Det kan være at begge ligger i xy-planet, men vinkelrett på hverandre der?

[wingeer]

Jo, de vil jo stå vinkelrett på hverandre, men ikke nødvendigvis i den retningen du ønsker. Dersom du holder ut hånden, peker tommelen opp og roterer håndleddet vil tommelen være vinkelrett på hånden din uansett.
Til det siste: Ja.