Du har tallføglen: 2,5,9,14,20......... Finn et utrykk for S(n). Hvordan finner man uttrykket? Fant A(n) ved regrisjon som var (n(n+3))/2 Hva gjør jeg videre? Er litt usikker på hva jeg skal gjøre fordi differansen øker med 1 for hvert tall. Er vel ikke en Aritmetisk rekke fordi modellen ikke er lineær?
Takk for svar!
Tallfølge R2
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du har funnet riktig a(n), og vi kan dermed bruke summering av leddene.
Noe jeg kommer til å bruke er at:
[tex]\sum\limits_{n=1}^m n^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
og
[tex]\sum\limits_{n=1}^m n = \frac{(n+1)(n)}{2}[/tex]
Rekka di har en sum som kan bli beskrevet:
[tex]\sum\limits_{n=1}^m \frac{n(n+3)}{2} = \sum\limits_{n=1}^m \frac{n^2+3n}{2} =\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^m n^2+3n = \frac{1}{2} (\sum\limits_{n=1}^m n^2 + \sum\limits_{n=1}^m 3n)[/tex]
Her summerer vi ledd for ledd (Du har lov til å spalte summetegn når du har forskjellige ledd, og vi kan også trekke konstanter (som 1/2) utenfor.
Nå kan vi bruke de to omskrivningene nevnt ovenfor og få
[tex]\frac{1}{2} (\sum\limits_{n=1}^m n^2 + \sum\limits_{n=1}^m 3n) = \frac{1}{2}(\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + 3\frac{m(m+1)}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3 + \frac{1}{6}m^2 + \frac{1}{3}m^2 + \frac{1}{6}m + \frac{3}{2}m^2 + \frac{3}{2}m) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3+2m^2+\frac{5}{3}m)[/tex]
Nå er vi egentlig i mål, men for å gjøre løsningen litt finere løser vi 3. gradslikningen slik at vi kan faktorisere uttrykket. Her kan du bruke digitale verktøy, evt gjette på enkle løsninger for så å polynomdividere. Jeg gjorde det førstnevnte. Det gir oss
[tex]\frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3+2m^2+\frac{5}{3}m) = \frac{1}{6}m(m+1)(m+5) = S_m[/tex]
Noe jeg kommer til å bruke er at:
[tex]\sum\limits_{n=1}^m n^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
og
[tex]\sum\limits_{n=1}^m n = \frac{(n+1)(n)}{2}[/tex]
Rekka di har en sum som kan bli beskrevet:
[tex]\sum\limits_{n=1}^m \frac{n(n+3)}{2} = \sum\limits_{n=1}^m \frac{n^2+3n}{2} =\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^m n^2+3n = \frac{1}{2} (\sum\limits_{n=1}^m n^2 + \sum\limits_{n=1}^m 3n)[/tex]
Her summerer vi ledd for ledd (Du har lov til å spalte summetegn når du har forskjellige ledd, og vi kan også trekke konstanter (som 1/2) utenfor.
Nå kan vi bruke de to omskrivningene nevnt ovenfor og få
[tex]\frac{1}{2} (\sum\limits_{n=1}^m n^2 + \sum\limits_{n=1}^m 3n) = \frac{1}{2}(\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + 3\frac{m(m+1)}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3 + \frac{1}{6}m^2 + \frac{1}{3}m^2 + \frac{1}{6}m + \frac{3}{2}m^2 + \frac{3}{2}m) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3+2m^2+\frac{5}{3}m)[/tex]
Nå er vi egentlig i mål, men for å gjøre løsningen litt finere løser vi 3. gradslikningen slik at vi kan faktorisere uttrykket. Her kan du bruke digitale verktøy, evt gjette på enkle løsninger for så å polynomdividere. Jeg gjorde det førstnevnte. Det gir oss
[tex]\frac{1}{2}(\frac{1}{3}m^3+2m^2+\frac{5}{3}m) = \frac{1}{6}m(m+1)(m+5) = S_m[/tex]