Derivasjon av trigonometrisk funksjon

[Johan Nes]

Heisann,

Har nå sittet så lenge med en oppgave at jeg drister meg til å spørre her.

Funksjonen f er gitt ved f(x) = -5 sin ((PI/12)x) - 5 cos ((PI/12)X), X element i [0,24]

b) Tegn fortegnslinjen til f' og bruk denne til å finne eventuelle topp og bunnpunkter på grafen til f.

Jeg begynner på derivasjonen:

f'(x) = -5 cos((PI/12)x) * PI/12 + 5 sin ((PI/12)x) * PI/12

Her bruker jeg kjerneregelen. So far, so good?

Neste steg i fasiten i eksamenshefte mitt:

sin ((PI/12)x) = cos ((PI/12)X

Har vi her delt på PI/12 slik at det leddet faller bort? Og så flyttet cos leddet over på venstre side?

Neste steg:

((PI/12)x) = PI/4 + n * PI

X = 3 + n * 12

Siden X er element i [0,24), får vi at x = 3 og x = 15.

Jeg skjønner svaret og hvordan vi finner nullpunktet, men sliter med leddene frem til det. Fasiten på matematikk.net gjør det på en helt annen måte og har ikke med mellomregninger, så det var ikke noe ekstra hjelp å få der.

Trigonometriske funksjoner er en av mine store svakheter, så jeg håper noen har tid til å hjelpe meg her.

Takk!

Mvh

Johan Nes

[fuglagutt]

Derivasjonen er fin, så starter med å sette den deriverte lik 0,

[tex]-5 \cos({\frac{\pi}{12}x}) \cdot \frac{\pi}{12} + 5 \sin({\frac{\pi}{12}x}) \cdot \frac{\pi}{12} = 0[/tex]

Deler på [tex]5 \frac{\pi}{12}[/tex] og får

[tex]-\cos({\frac{\pi}{12}x}) + \sin({\frac{\pi}{12}x}) = 0[/tex]

Som gir

[tex]\sin({\frac{\pi}{12}x}) = \cos({\frac{\pi}{12}x})[/tex]

Deler på [tex]\cos({\frac{\pi}{12}x})[/tex] for å få tangens,

[tex]\tan({\frac{\pi}{12}x}) = 1[/tex]

Og nå har du igjen en vanlig trigonometrisk likning som du kan løse

[Johan Nes]

Brilliant, fuglagutt! Takk!

Jeg er 100% med på derivasjonen tror jeg, men kommer ikke frem til X = 3 + n * 12 som svar ved løsning av den trigonometriske likningen, så jeg gjør nok noe feil der.

[fuglagutt]

Okay, da ser vi først på enhetssirkelen. Det er kun to punkter der hvor tan(x) = 1, og det er ved vinkler lik pi/4 og 13pi/4. Vi ser dermed at enhver løsning kan skrives slik at

[tex]tan(u) = 1 \to u = \frac{\pi}{4} + n\pi[/tex]

Så setter vi inn [tex]u = \frac{\pi}{12}x[/tex]

[tex]\frac{\pi}{12}x = \frac{\pi}{4}+n\pi[/tex]

Deler på pi og multipliserer med 12

[tex]x = 3+12n[/tex]

[Johan Nes]

Hjertelig takk, fuglagutt. Da fikk jeg repetert litt også.

Jeg sliter litt med en mellomregning i et induksjonsbevis i samme eksamen om du eller noen andre har mulighet til å hjelpe meg litt.

Det er i siste del av beviset og jeg har dette på høyre side av likhetstegnet (4^k-1)/3 + 4^k.

Neste viser (4^k-1)/3 + 4^k * 3. (ganger med tre for å få felles brøkstrek, med så langt).

Men så skjønner jeg ikke de to siste leddene:

(4*4^k-1)/3

(4^k - 1)/3

Det er desverre ofte jeg sliter i relativt avanserte oppgaver fordi jeg ikke er stødig nok på elementær algebra, noe som er ganske frustrerende.

[fuglagutt]

Har du link, evt bilde av oppgaven?

[Vektormannen]

Husk på at generelt er [tex]a^b \cdot a^c = a^{b+c}[/tex]. Da får vi her [tex]4 \cdot 4^{k-1} = 4^{k-1+1} = 4^k[/tex].

[Johan Nes]

Eksamen R2 vår 2011 Oppgave 1f) i Del 1:

Bevis formelen ved induksjon: 1+4+16+...+4^(n-1) = (4^n - 1)/3

Obs, i siste ledd på rekken er n-1 eksponenten, men i formelen på høyre side er det kun n som er eksponent. En vakker dag skal jeg lære meg å bruk TEX-editoren.

Jeg og fasiten beviser først formelen for 1. Formelen stemmer altså for n = 1.

Så antar jeg at formelen stemmer for n = k. Det gir 1 + 4 + 16 +...+4^(k-1) = (4^k - 1)/3

Så antar jeg at den også fungerer for n = k + 1 og får 1 + 4 + 16 + ... + 4^(k-1) + (4^k) = (4^k - 1)/3 + 4^k

Da er vi tilbake til det jeg skrev i forrige post.

(4^k-1)/3 + 4^k * 3. (ganger siste ledd med tre for å få felles brøkstrek) Men hva skjer så?

(4*4^k-1)/3

(4^k - 1)/3

Jeg lurer på om fasiten på matematikk.net gjorde det litt annerledes, men det var denne fremgangsmåten jeg var vant med fra Sinusboken. Skjønner bare ikke de siste leddene. Helt ærlig har induksjonsbeviset vært veldig vanskelig for meg å forstå.

Takk for hjelp.

[Vektormannen]

Husk på at generelt er [tex]a^b \cdot a^c = a^{b+c}[/tex]. Da får vi her [tex]4 \cdot 4^{k-1} = 4^{k-1+1} = 4^k[/tex].

[Johan Nes]

Takk, Vektormannen.

Det er slike små blundere fra lavere nivå som ofte ødelegger for meg i de mer avanserte oppgavene.

[Johan Nes]

Ny trigonometrisk funksjon jeg ikke får til å derivere.

f(x) = 2 sin x * + 2 sin x * cos x

f'(x) = 2 cos x + 2 cos x * cos x + 2 sin x * (-sin x)

Deriverer her første ledd direkte og bruker produktregelen på siste ledd. So far, so good?

= 2 cos x + 2 cos^2 x - sin^2 x

Looking good.

Men så forsvinner sin på en eller annen merkelig måte i fasiten som jeg ikke skjønner. Har bladd i boken, men skjønner ikke.

2 cos x + cos^2 x - 2(1-cos^2 x)

Anyone?

[fuglagutt]

Husk at [tex]sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/tex]

[Johan Nes]

Husk at [tex]sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/tex]

Har desverre ikke fått med meg den definisjonen og sliter generelt med trigonometrien. Begynte bra, men så måtte jeg begynne å skumme i stoffet for å bli ferdig og da blir ikke det bra.

Forstår fortsatt ikke. Hadde sikkert fått det til etter hvert, men tror ikke jeg kan bruke tid på det. Må bare prøve å få gjort mest mulig av det jeg kan og forstår tror jeg frem til eksamen.

Sliter litt med en annen også.

(a*(sin a) + cos a)/sin a

blir til

a + (cos a/sin a)

Ren magi for min del, da jeg ikke skjønner hvordan sin a forsvinner.

[fuglagutt]

Den siste er bare:

[tex]\frac{a \sin(a) + \cos(a)}{\sin(a)} = \frac{a \sin(a)}{\sin(a)}+\frac{\cos(a)}{\sin(a)} = a + \frac{\cos(a)}{\sin(a)}[/tex]

Husk at du kan splitte opp ledd i telleren

[fuglagutt]

Angående [tex]sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/tex] så kommer dette rett ut fra enhetssirkelen. Ta deg en titt på den, mye viktig info der!