Derivasjon av trigonometrisk funksjon

[Johan Nes]

Den siste der var faktisk magisk. Tok du den på strak arm eller måtte du tenke litt?

Takk!

Jeg er klar over at enhetssirkelen er viktig og jeg var godt inne i den, men så var det intensiv Fysikk 1 i tre uker før jeg returnerte til bøkene og da har det gått så fort i svingene at jeg rett og slett ikke får brukt den tiden jeg trenger for å forstå skikkelig, som jo er det jeg ønsker.

[Johan Nes]

Ny trigonometrisk funksjon jeg ikke får til å derivere.

f(x) = 2 sin x * + 2 sin x * cos x

f'(x) = 2 cos x + 2 cos x * cos x + 2 sin x * (-sin x)

Deriverer her første ledd direkte og bruker produktregelen på siste ledd. So far, so good?

= 2 cos x + 2 cos^2 x - sin^2 x

Looking good.

Men så forsvinner sin på en eller annen merkelig måte i fasiten som jeg ikke skjønner. Har bladd i boken, men skjønner ikke.

2 cos x + cos^2 x - 2(1-cos^2 x)

Anyone?

Denne forstår jeg fortsatt ikke og det skal sies at både Geogebra og Wolframalpha gir det svaret jeg har kommet frem til så langt, men det er ikke etter boken.

For oppgaven spør nemlig, vis ved regning at f'(x) = 4 cos^2x + 2 cos x - 2

Det er det leddet jeg har postet til slutt i sitatet jeg ikke skjønner. Å regne ut det å komme til det fasiten ber om er jo plankekjøring.

[Gustav]

f´(x)=2cos x + 2cos^2 x - 2(1-cos^2 x)=2cos x +4cos^2 x -2


Det man her bruker er identiteten sin^2 x + cos^2 x=1

[Johan Nes]

f´(x)=2cos x + 2cos^2 x - 2(1-cos^2 x)=2cos x +4cos^2 x -2


Det man her bruker er identiteten sin^2 x + cos^2 x=1

Takk, plutarco.

Fuglagutt nevnte alt denne, men jeg skjønner desverre ikke så mye av det og har ikke anledning til å bruke tid på dette med eksamen rett rundt hjørnet.

Har lest over seksjonen om derivasjon av trigonometriske formler igjen og til mitt forsvar synes jeg denne seksjonen er syltynn, med svært få relevante eksempler da eksempeloppgavene er superenkle og hele seksjonen er 2 korte sider.

Boken nevner i en bisetning, "Vi kan utnytte at cos^2 x + sin ^2 = 1" og that's it. Ingenting mer så vidt jeg kan se. Hjelper ikke meg så mye.

Sliter litt med en annen en også.

g(x) = sin^2 x - cos^2 x

= 2 sin x * cos x - 2 cos x * (-sin x) <--Bruker produktregelen, sant?

= 2 sin x * cos x + 2 sin x * cos x <--Hva skjer her egentlig? Blir siste ledd derivert en gang til eller bytter de bare rekkefølge på faktorene?

= 4 sin x * cos x <-- Er ikke helt med på denne heller

= 2 sin 2 x <--Og hva i alle dager skjer her? Denne er enda verre.

Det ene løsningsforslaget jeg så avsluttet derivasjonen på nest siste linje 4 sin * cos x.

[Vektormannen]

I den første linja brukes kjerneregelen, ikke produktregelen. Husk at [tex]\sin^2 x = (\sin x)^2[/tex], så [tex](\sin^2 x)^\prime = 2 \sin x \cdot \cos x[/tex].

I den neste linja er det bare snakk om å bytte om rekkefølgen og gange sammen -1 med -1 slik at det blir positivt fortegn på leddet.

I neste linje har de to leddene blitt trukket sammen. Hvis vi har to ganger sin x cos x og legger til to til så har vi til sammen 4 sin x cos x. Dette er det samme som når du trekker sammen 2x og 2x og får 4x. Alternativt kan du tenke på det som at sin x cos x er en felles faktor i begge ledd, slik at [tex]2 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos x = \sin x \cos x(2 + 2) = \sin x \cos x \cdot 4 = 4 \sin x \cos x[/tex].

Til slutt er det brukt at [tex]2 \sin x \cos x = \sin 2x[/tex]. Denne bør stå i boken din og/eller i formelheftet. Det er tre trigonometriske identiteter man bør kunne: [tex]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/tex], [tex]\sin 2x = 2 \sin x \cos x[/tex] og [tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1[/tex].

[fuglagutt]

Først bytter de rekkefølge, akkurat som du sier. Så legger blir de to leddene lagt sammen. Legg merke til at de to leddene er prikk like

Til slutt brukes regelen om doble vinkler;

[tex]\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)[/tex]

Når det er sagt; Identiteten [tex]sin^2(x) + cos^2(x) = 1[/tex] er et MUST å kjenne til. Den brukes vanvittig ofte, og du kan enkelt finne den ved å tegne enhetssirkelen. Doble vinkler er ikke like lette å vise, men bør også læres da den ofte kommer igjen på eksamen.

EDIT: Too slow

[Johan Nes]

Åjsann.

Her var det litt å ta tak i. Får se hva jeg får til før eksamen.

Tusen takk for god veiledning iallfall!