Ekstremalverdier for flervariabler funksjoner

[Determined]

Har fått dette i oppgave:

Anta at $f : R^m \rightarrow R$ er en positiv funksjon slik at $\lim_{|\textbf{x}| \rightarrow \infty} f(\textbf{x}) = 0$. Vis at f har et maksimumspunkt.

Jeg skjønner ikke helt dette. Hvis f hadde vært en kontinuerlig funksjon ser jeg at dette må stemme (selv om jeg ikke helt vet om jeg hadde klart å formulere det matematisk), men ta f.eks. funksjonen $f(x) = |\frac{1}{x}|$. Dette er jo en positiv funksjon hvor verdien går mot null ved uendelig og minus uendelig som grenseverdier. Men funksjonen har jo ikke maksimumspunkt(er), da $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \infty$.

Så dette skjønner jeg ikke helt...

[Gustav]

Har fått dette i oppgave:

Anta at $f : R^m \rightarrow R$ er en positiv funksjon slik at $\lim_{|\textbf{x}| \rightarrow \infty} f(\textbf{x}) = 0$. Vis at f har et maksimumspunkt.

Jeg skjønner ikke helt dette. Hvis f hadde vært en kontinuerlig funksjon ser jeg at dette må stemme (selv om jeg ikke helt vet om jeg hadde klart å formulere det matematisk), men ta f.eks. funksjonen $f(x) = |\frac{1}{x}|$. Dette er jo en positiv funksjon hvor verdien går mot null ved uendelig og minus uendelig som grenseverdier. Men funksjonen har jo ikke maksimumspunkt(er), da $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \infty$.

Så dette skjønner jeg ikke helt...

Problemet med eksempelet ditt er at $f(x) = |\frac{1}{x}|$ ikke er definert i 0. Kriteriet er at f(x) skal være definert på hele R^m.. (men dette kan fikses ved å definere f(0)=1 f.eks.)

[Gustav]

Men det er vel riktig som du sier. f må være kontinuerlig for at den skal ha maksimum, ja.

[Gustav]

La M være et positivt tall som ikke er et maksimum til f. Fra grenseverdien må det eksistere en R>0 slik at f(x)<M for alle x der|x|>R.

La $U=\{x\in\mathbb{R}^m : |x|\leq R \}$, og se på f(U) i lys av Heine Borels teorem.

[Determined]

Men det er vel riktig som du sier. f må være kontinuerlig for at den skal ha maksimum, ja.

Ja, for meg virker det jo som om det oppgaven sier jeg skal vise ikke er sant?

Kan man definere $f(0) = \infty$, slik at funksjonen er kontinuerlig, eller er ikke dette logisk?

La M være et positivt tall som ikke er et maksimum til f. Fra grenseverdien må det eksistere en R>0 slik at f(x)<M for alle x der|x|>R.

La $U=\{x\in\mathbb{R}^m : |x|\leq R \}$, og se på f(U) i lys av Heine Borels teorem.

Har ikke lært om Heine Borels teorem, så er sikkert meningen at jeg skal vise det med det jeg allerede har lært, altså uten å bruke dette teoremet...

[Gustav]

Kan man definere $f(0) = \infty$, slik at funksjonen er kontinuerlig, eller er ikke dette logisk?

Nei. Alle funksjonsverdiene til f må være endelige reelle tall.

[Determined]

Nei. Alle funksjonsverdiene til f må være endelige reelle tall.

Ja er vel logisk det. Takk.

Men ang. denne oppgaven. Selv om man antar at f er kontinuerlig på $(-\infty,\infty)$, så behøver vel ikke f ha et maksimum? Ta f.eks. funksjonen $f(x)=0$. Eller er ikke denne funksjonen regnet som "positiv"?

Om $f(\textbf{x}) > 0$ for alle $\textbf{x}$ kan man plukke ut et lite omegn om $sup\{f(\textbf{x})\}$, slik at dette danner en lukket, begrenset mengde. Om funksjonen også er kontinuerlig har den ifølge ekstremalverdisetningen et maksimumspunkt, fordi om vi plukker ut en verdi $\textbf{c}$ slik at $f(\textbf{c}) = sup\{f(\textbf{x})\}$, så er $f(\textbf{c}) \geq f(\textbf{x})$ for alle $\textbf{x}$ på det gitte omegnet.

Er dette bra nok tror dere?

EDIT:

Nei ser at dette blir feil, det pleier jo å være meningen å bruke alle betingelsene i oppgaveteksten.

[Determined]

Hum.

Man kan plukke ut et lite omegn om $\sup\{ f(\textbf{x}) \}$ fordi denne verdien ligger på et sted $x$ er definert, i og med at $\lim_{|\textbf{x}| \rightarrow \infty} f(\textbf{x})= 0$!

[Gustav]

Du kan egentlig bare bruke http://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem på mengden U, slik jeg definerte U i mitt første svar: $U=\{x\in\mathbb{R}^m : |x|\leq R \}$.

[Determined]

Hm. Om jeg forstår dette korrekt nå, så fører grenseverdien(e) til at det må finnes en R>0 slik at f(x)<M for alle x der |x|>R. Dette fører så til at f er kontinuerlig på R, og på et lukket og begrenset intervall av R så har f maksiumsverdier ifølge ekstremalverdisetningen.

Fordi man kan velge intervallet [-R,R].

[Gustav]

Hm. Om jeg forstår dette korrekt nå, så fører grenseverdien(e) til at det må finnes en R>0 slik at f(x)<M for alle x der |x|>R. Dette fører så til at f er kontinuerlig på R, og på et lukket og begrenset intervall av R så har f maksiumsverdier ifølge ekstremalverdisetningen.

Fordi man kan velge intervallet [-R,R].

- For at utsagnet du skal vise skal være korrekt må f forutsettes å være kontinuerlig.

- Siden f er kontinuerlig må f(U) være et lukket og begrenset intervall.

- Herfra går det an å bruke ekstremverditeoremet på følgende måte: La $i(x):f(U)\to \mathbb{R}$ være identitetsfunksjonen på f(U). Da er i(x) en kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset intervall. Fra ekstremverditeoremet vil i(x) ha et maksimum, altså vil f(U) ha et maksimum.

Teoremene som er brukt er:

http://www.proofwiki.org/wiki/Continuou ... _Connected

http://www.proofwiki.org/wiki/Continuou ... is_Compact

http://www.proofwiki.org/wiki/Closed_Bo ... is_Compact

[Determined]

Skjønner... takk for hjelpen!

[Flabbrø]

Det er en feil i boka. Det skal stå "positiv, kontinuerlig".

[Determined]

Jeg sliter faktisk fortsatt litt med dette.

Er det følgende riktig?

Siden $\lim_{|x| \rightarrow \infty}f(x) \rightarrow 0$, finnes det til enhver $\epsilon$ en $N \in R$ slik at $f(x) < \epsilon$ for alle $x \geq N$. (Ifølge definisjonen av grenseverdier når variabelen går mor uendelig eller minus uendelig.) Dermed kan vi plukke ut en konstant $A$ slik at $A \leq |x|$, som gjør at vi får en kontinuerlig funksjon $f$ definert på et lukket, begrenset intervall. Denne funksjonen har da både maksimums og minimums-punkter, ifølge ekstremalverdisetningen. Dermed er det vist at $f$ har et maksimumspunkt. (Den vil jo i praksis også ha minimumspunkt(er) på dette intervallet vi velger oss, avhengig av hvordan vi velger $A$.

(Nå argumenterte jeg for én variabel, men det blir helt tilsvarende logikk med flere.)

[Gustav]

Er det følgende riktig?

Siden $\lim_{|x| \rightarrow \infty}f(x) \rightarrow 0$, finnes det til enhver $\epsilon$ en $N \in R$ slik at $f(x) < \epsilon$ for alle $x \geq N$. (Ifølge definisjonen av grenseverdier når variabelen går mor uendelig eller minus uendelig.) Dermed kan vi plukke ut en konstant $A$ slik at $A \leq |x|$, som gjør at vi får en kontinuerlig funksjon $f$ definert på et lukket, begrenset intervall. Denne funksjonen har da både maksimums og minimums-punkter, ifølge ekstremalverdisetningen. Dermed er det vist at $f$ har et maksimumspunkt. (Den vil jo i praksis også ha minimumspunkt(er) på dette intervallet vi velger oss, avhengig av hvordan vi velger $A$.

(Nå argumenterte jeg for én variabel, men det blir helt tilsvarende logikk med flere.)

Ja, det virker som du har skjønt poenget nå ja. Det viktige man bør vite er at kontinuerlige funksjoner på lukkede og begrensede (altså kompakte mengder siden det er snakk om delmengder av euklidske rom) mengder har maksimum og minimum. Dette gjelder ikke dersom vi dropper enten kontinuiteten, begrensetheten eller lukketheten! Det er viktig å kjenne til moteksempler i disse tilfellene!

Det kan være lurt å tenke over de følgende oppgavene:

1. Finn en kontinuerlig funksjon definert på det åpent intervallet $(0,1)$ som hverken har maksimum eller minimum.

2. Finn en funksjon (ikke nødvendigvis kontinuerlig) på det lukkede og begrensede intervallet $[0,1]$, som hverken har maksimum eller minimum.

3. Finn en kontinuerlig funksjon på det lukkede (men ikke begrensede) intervallet $[0, \infty)$ som hverken har minimum eller maksimum.