Vrien oppgave om omdreining om x-aksen

[dudedude]

Funksjonen r(x)=8sin(pi*x+pi/4) skal dreies om x-aksen fra 0 til 3/4. Jeg setter da opp:


$pi\ast {\int }_0^{3/4}(8sin(pi\ast x+\frac{pi}{4}){)}^{2}dx=64\ast pi/(pi)\ast {\int }_0^{3/4}(sin(u{)}^{2}du$

Bruker substitusjon
(u=pi*x+pi/4, du=pi)

Så bytter jeg ut sin^2(u) med 1-cos^2(u). Deretter bytter jeg ut cos^2(u)=0.5*(1+cos2x)
Deretter integrerer jeg det som et bestemt integral, men får helt feil volum. Det skal bli 91,4. Er dette en tungvindt måte å gjøre det på?

Mens jeg er inne på rotering om akser; hvordan var det når man skal rotere en funksjon, f.eks y=2x+3 om y-aksen? Mener å huske at man måtte sette den opp som x=(y-3)/2?
På forhånd takk for svar. Ordspillet i overskriften var tilfeldig:)

[pareto]

Antar det er volumet av omdreiningslegemet du er ute etter. Du er komt fint i gang. Men du trenger ikke bytte ut $si{n}^2(u)$ da det finnes en integrasjonsformel som sier:

$\int si{n}^2(x)dx=-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{x}{2}+C$

Prøv deg litt videre med denne. Jeg kom i hvertfall frem til: $V=\pi \underset{0}{\overset{3/4}{\int }}{(8sin(\pi x+\frac{\pi }{4}))}^{2}dx=24\pi +16\approx 91.39$

Lykke til!

[mikki155]

Det gir lite kompetanse om en bare slår opp og finner integrasjonsformelen på eksamen. En har nødt til å prøve seg frem, f. eks. ved å regne om $sin(\pi \cdot x+\frac{\pi }{4})$ helt fra starten ved å bruke sinusformelen, og så regne med første kvadratsetning. Til slutt kommer du frem til en funksjon $32\pi +32\pi \cdot sin(2\pi x)$, som en kan se faller sammen med grafen for $64\pi \cdot si{n}^2(\pi x+\frac{\pi }{4})$.

Til det siste spørsmålet ditt, er det jo slik at f(x) fungerer som radius for "skivene" du dreier om x-aksen. Så uttrykker du bare arealet av hver skive, og summerer alle skivene, og får $V=\pi \cdot {\int }_x^{x_1}(f(x){)}^{2}dx$

[dudedude]

Takk for svar.

Nå har jeg kommet til en lignende oppgave, som jeg fortsatt ikke får til. g(x)=3sin(0.5-2) skal dreies 360 grader om x-aksen fra 0 til 4. Jeg skal finne volumet av omdreiningslegemet.

$pi{\int }_0^4(3sin(\frac{1}{2}x-2){)}^{2}dx=$

Bruker substitusjon: u=0.5x-2, du=0.5

$2\ast 9pi{\int }_0^4(sin(u){)}^{2}du=$

Regner jeg først som et ubestemt integral får jeg:
$18pi(\frac{x}{2}-\frac{cos(\frac{1}{2}x-2)sin((\frac{1}{2}x-2))}{2})$

Regner jeg nå ut det bestemte integralet blir det feil. Jeg får 123,8, mens fasit sier 67,3. Jeg har regnet over integralet flere ganger, og får det samme hver gang. Ser ikke hva jeg gjør feil. Bruker forresten delvis integrasjon for å regne ut sin^2(u)

[Janhaa]

du har glemt å skifte grensene dine ved substitusjonen;

x = 0 gir u = -2
og x = 4 gir u = 0

[dudedude]

du har glemt å skifte grensene dine ved substitusjonen;

x = 0 gir u = -2
og x = 4 gir u = 0

Ok, det var nytt for meg. Når jeg regner ut med de nye verdiene får jeg V=0-11-(-18pi-3.95)=49,5. Det stemmer ikke helt

[dudedude]

Noen som ser hvor det har gått galt?

[pareto]

Hei igjen. Tror kanskje du kan ha utbytte av å finne det ubestemte integralet fullstendig før du løser det bestemte. Jeg prøver meg på en fullstendig løsning her.

Du skal finne volumet av omdreiningslegemet som fremtrer i intervallet $x\in [0,4]$ når man roterer funksjonen $g(x)=3sin(0.5x-2)$ 360 grader om x-aksen. Dette skjer selvsagt ved integrasjon og teorien bak dette er enkelt tilgjengelig, f.eks: https://sites.google.com/site/lektorthu ... n-og-volum

Her kan vi, som mikki155 forklarte, starte med å omforme g(x) ved å bruke sinusformelen. Dette er kanskje mest utfyllende på en eventuell eksamen, for å demonstrere kompetanse og forståelse. Alternativt kan vi bruke integrasjonsformelen for sinus kvadrert, som er det enkleste.

Jeg tar for meg sistnevnte:
$V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{(g(x))}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{(3sin(0.5x-2))}^{2}dx$

Fra elementære alebgraiske operasjoner får vi:
$V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{3}^2\cdot si{n}^2(0.5x-2)dx$

Her flytter vi selvsagt ut konstanten og får:
$V=9\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}si{n}^2(0.5x-2)dx$

Nå kan vi, i følge teori om integrasjon med variabelskifte, sette $u=0.5x-2$ og får $du=\frac{du}{dx}dx=0.5dx$. Her kan det for å unngå forvirring være greit å bare raskt skrive om: $dx=2du$.

Når vi så substituerer dette inn i integralet vårt får vi:
$V=18\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}si{n}^2(u)du$

Merk at vi flytter konstanten direkte ut.

Integralet av sinus (og cosinus) kvadrert er rimelig enkelt og bør egentlig bare huskes. Vi regner ut det ubestemte integralet av sinus kvadrert for seg selv:
$\int si{n}^2(u)du=-\frac{1}{4}sin(2u)+\frac{u}{2}+C$

Vi bruker dette i problemet vårt og samtidig substituerer vi tilbake $u=0.5x-2$. Da får vi:

$V=18\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}si{n}^2(u)du=18\pi {[-\frac{1}{4}sin(x-4)+\frac{0.5x-2}{2}]}_0^4=18\pi (-\frac{1}{4}sin(0)+\frac{0}{2})-18\pi (-\frac{1}{4}sin(-4)+\frac{-2}{2})=0-18\pi (-\frac{1}{4}sin(-4)-1)=18\pi (\frac{1}{4}sin(-4)+1)\approx 67.2477$

Og dette løser problemet. Jeg tror for øvrig du kan ha nytte av å repetere integrasjons metodene man lærer i R2, og gjøre en del oppgaver med bestemte integraler. Bjørn Ove Thue har en fin side med videoer om emnet: https://sites.google.com/site/lektorthu ... onsmetoder

[dudedude]

Tusen takk for utfyllende og oversiktlig svar! Nå skjønte jeg det med utbytting av grenseverdier. Jeg fikk den ikke til fordi jeg byttet ut de nye grenseverdiene med x i (0.5x-2), istedenfor å bare bytte ut "u" direkte. Fikk riktig svar nå:)
Skal se nærmere på integrasjonsteknikker