Induksjonsbevis

[Clementine]

[Vektormannen]

$4^t-1+3\cdot 4^t=4^t(1+3)-1=4^t\cdot 4-1=4^{t+1}-1$. Hvis vi kaller $4^t$ for u så er det kanskje litt enklere å se; da har vi $u-1+3u=4u-1=4\cdot 4^t-1=4^{t+1}-1$.

[fuglagutt]

Hehe, hvor mange ganger dette er blitt spurt om nå vet jeg ikke, men ^^

Uansett, for å skrive det om med mellomledd:

$\frac{4^t-1+3\cdot 4^t}{3}=\frac{4^t+3\cdot 4^t+1}{3}=\frac{4^t(1+3)+1}{3}=\frac{4\cdot 4^t+1}{3}=\frac{4^{t+1}+1}{3}$

[Clementine]

Skjønte det bedre nå
Men lurer fortsatt på hvordan det kan gå fra to 4^t til bare én i den neste delen.

[Vektormannen]

Det er en vanlig potensregel (som du bør kunne!): $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$. Tenk på det sånn: $4^t$ betyr at vi har et produkt der vi har t stykker av tallet 4 ganget med hverandre, ikke sant? Når vi ganger med ett 4-tall til så har vi til sammen t+1 stykker, ikke sant? Men det kan vi jo skrive som $4^{t+1}$.

[Clementine]

Men se på den delen hvor pilen min peker på.
Der er det ikke lenger to 4^t, men én 4^t og én 4.
Og det står jo ikke 4^t+1 der... Så da skjønner jeg ikke helt

Kan man ta 4^t * 4 og fortsatt få 4^t+1 da?
Trodde begge måtte være opphøyd i noe..

[fuglagutt]

Det er bare faktorisering og bruk av;

$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$

[mikki155]

Potensregel:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Edit: I was too late

[Aleks855]

Hehe, hvor mange ganger dette er blitt spurt om nå vet jeg ikke, men ^^

Uansett, for å skrive det om med mellomledd:

$\frac{4^t-1+3\cdot 4^t}{3}=\frac{4^t+3\cdot 4^t+1}{3}=\frac{4^t(1+3)+1}{3}=\frac{4\cdot 4^t+1}{3}=\frac{4^{t+1}+1}{3}$

Uten at jeg skal gjøre så mye ut av det, så ser det ut som du slurva litt med fortegnet på 1ern fra første til andre iterasjon, når du bytta plass. Så det skal bli $\frac{4^{t+1}-1}{3}$

[fuglagutt]

Der var det litt slurv ja

[Clementine]

Men se på den delen hvor pilen min peker på.
Der er det ikke lenger to 4^t, men én 4^t og én 4.
Og det står jo ikke 4^t+1 der... Så da skjønner jeg ikke helt

Kan man ta 4^t * 4 og fortsatt få 4^t+1 da?
Trodde begge måtte være opphøyd i noe..

Ja, jeg har lest potensregelen tre ganger her nå.
Noen som vil svare på akkurat dette?

[mikki155]

Vi gjorde det..

$4^t\cdot 4=4^t\cdot 4^1=4^{t+1}$

Du har samme grunntall, og $4=4^1$

[fuglagutt]

Skjønner ikke helt hva du spør om? Hele utregningen er at man faktoriserer ut $4^t$ slik at man får $4\cdot 4^t=4^1\cdot 4^t=4^{t+1}$

[Clementine]

Vi gjorde det..

$4^t\cdot 4=4^t\cdot 4^1=4^{t+1}$

Du har samme grunntall, og $4=4^1$

Takk, da skjønner jeg!