Uegentlige integraler

[Integralen]

Oppgave 9.5.3 d)

Avgjør om integralet konvergerer eller divergerer.

[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{sin(x)}} dx[/tex]

Hvordan løse denne?

[Nebuchadnezzar]

Integralet er ikke analytisk. Sikker på du ikke mener $1/\sqrt{\sin x + 1}$?

[Janhaa]

Oppgave 9.5.3 d)
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{sin(x)}} dx[/tex]
Hvordan løse denne?

eller hvis det er bestemt (fra 0 til pi) det evt bestemmes

[Nebuchadnezzar]

Nei ?

[Integralen]

Har redigert oppgaven og skrevet den rett av matteboka nå.

Hvordan løse denne nå da?

[Nebuchadnezzar]

Vi har at $\forall \, x \in [0,\pi/2]$ så holder ulikheten

$ \displaystyle \frac{x}{4} \, \leq \, \sin x \, \leq \, x $ ,

som impliserer at

$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \leq \frac{ 2 }{\sqrt{x}}$.

Fra skviseteoremet for integraler så konvergerer integralet ditt. (Ta integralet fra $0$ til $\pi/2$ på ulikheten ovenfor).
Mellomregningene og det å begrunne utsagenene er opp til deg.

[Integralen]

Takker