Lagrange multiplikator

[Zed]

Bestem de punktene på kurven 5x^2+6xy+5y^2=1 som ligger nærmest origo og de som ligger lengst borte fra origo. hjelp!

[Janhaa]

hva med og kalle den først for f og den andre for g (avstanden til origo):
nivåkurvene er ellipser...

[tex]f=5x^2+5y^2+6xy=1[/tex]
dvs
[tex]5x^2+5y^2+6xy-1=0[/tex]
===
[tex]g=x^2+y^2=R^2[/tex]
dvs
[tex]g=x^2+y^2-R^2=0[/tex]
===
så kan du bruke;

[tex]\bigtriangledown f(x,y)=\lambda \bigtriangledown g(x,y)[/tex]
og

[tex]g(x,y)=0[/tex]

[Zed]

Okei, det første skjønner jeg, men hvordan skal jeg sette de inn i ligningen?

[Determined]

Du får jo 4 ligninger, med fire ukjente. De tre første ligningene får du med gradienten til f som skal være lik gradienten til g ganget med den konstanten. Det gir fire ukjente. De får en ekstra ligning på kjøpet med g = 0. Da har du fire ukjente og fire ligninger. Hvis problemet ditt faktisk har en løsning, så får du disse løsningene ved å løse ligningssystemet.

Det er ingen universell måte å løse disse systemene på, så lenge vi ikke snakker lineære systemer. Du må bare trikse litt.

[Janhaa]

hvis jeg regna riktig:

[tex]x=y=\pm 0,25[/tex]
og
[tex]x=\mp y = 0,5[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Kan jo løses mye lettere da..

[Janhaa]

Kan jo løses mye lettere da..

uten Lagrange multiplikator ja...

[Nebuchadnezzar]

Selv om titteln sier Lagrange, så nevner ikke innlegget noe om at en må Lagrange..

Min metode var å finne ut når linja $ y = ax$ skjærte ellipsen $f(x,y)$.
Som skjer når $f(x,ax) = 0$. Løsningene er da
$x_{\pm 1} = \pm \left( 5+6a+5a^2 \right)^{-1/2} $ og $y_{\pm 1} = \mp a \cdot x_1$.
Avstanden fra dette punktet til origo blir bare $d = \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$ eller
$ \displaystyle d^2 = (x)^2 + (y)^2 = \frac{1 + a^2}{5+6a+5a^2} = \left( 5 + 6 \cdot \frac{a}{1+a^2} \right)^{-1}$
Som er minimal og maksimal for henholdsvis $a=1$ og $a=-1$. Der $d^2$ er minimal er og $d$ minimal.
Slik at punkta blir som Janhaa viste, (sette inn for $x_{\pm 1}$ og $y_{\pm 1}$ ovenfor).
Med $d^2 = 1/8$ som min og $d^2 = 1/2$ som maks.

[Janhaa]

Selv om titteln sier Lagrange, så nevner ikke innlegget noe om at en må Lagrange..
Min metode var å finne ut når linja $ y = ax$ skjærte ellipsen $f(x,y)$.
Som skjer når $f(x,ax) = 0$. Løsningene er da
$x_{\pm 1} = \pm \left( 5+6a+5a^2 \right)^{-1/2} $ og $y_{\pm 1} = \mp a \cdot x_1$.
Avstanden fra dette punktet til origo blir bare $d = \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$ eller
$ \displaystyle d^2 = (x)^2 + (y)^2 = \frac{1 + a^2}{5+6a+5a^2} = \left( 5 + 6 \cdot \frac{a}{1+a^2} \right)^{-1}$
Som er minimal og maksimal for henholdsvis $a=1$ og $a=-1$. Der $d^2$ er minimal er og $d$ minimal.
Slik at punkta blir som Janhaa viste, (sette inn for $x_{\pm 1}$ og $y_{\pm 1}$ ovenfor).
Med $d^2 = 1/8$ som min og $d^2 = 1/2$ som maks.

var noe i den duren jeg tenkte på når jeg løste oppgava i går faktisk.
jeg så jo at nivåkurvene er ellipser (her = 1).
løsninga over er jo mer elegant og kulere da...

[Nebuchadnezzar]

Enda frekke løsning blir vel å merke seg symmetriene av ellipsen.
Eg at siden $f(x,y)=f(y,x)$ så har den diagonalsymmetri, og siden $f(x,y)=f(-x,-y)$ så
er den symmetrisk omkring origo. http://www.purplemath.com/modules/symmetry3.htm
Følgelig vil maks og min ligge langs diagonalene $y=\pm x$, så en må løse $f(x,\pm x)=0$, også drøfte om punktene er maks eller min.

Men er vel greit å lære seg lagrange og (selv om jeg enda ikke har fått bruk for det..) =)