Rottesten for rekker.

[student1989]

Hei, jeg har en oppgave hvor jeg skal bruke rottesten.

a)Vis at dersom P(n) er et polynom, så er lim(n->uendelig)[P(n)]^(1/n) = 1.
b) Vis at rekken sum(n^17-4*n^6+2*n^2-17)/2^n konvergerer.

Hvis jeg først hopper over a, men bruker resultatet som jeg skal vise, så er oppgave b lett, da vet vi at rekken konvergerer med rottesten, for grensen er 1/2 < 1.

Men så må jeg jo tilbake til a for å vise denne. Jeg må vel visa at uansett hvordan polynomet er, så går det saktere mot uendelig enn 1/n går mot 0, dermed blir polynomet opphøyt i 1/n 1. Har dere noen tips?

[Gustav]

På a) må det vel mangle noen opplysninger. Det er lett å finne polynomer som ikke oppfyller denne grensen. F.eks. dersom P(n)=n.

[student1989]

På a) må det vel mangle noen opplysninger. Det er lett å finne polynomer som ikke oppfyller denne grensen. F.eks. dersom P(n)=n.

Beklager jeg skrev feil, jeg mente n-teroten til P(n), altså [P(n)]^(1/n). Dette gjør at når vi bruker rot-testen i b), så får vi n-te roten av polynomet, som gir 1 i teller, og 2 i nevner.

[Gustav]

OK, så det du mener er å vise at for generelle polynomer $P(n)$ er

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P(n)^{\frac1n} =1$ ?

[student1989]

OK, så det du mener er å vise at for generelle polynomer $P(n)$ er

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P(n)^{\frac1n} =1$ ?

Jepp!

[Nebuchadnezzar]

Hvordan kan du skrive et generelt polynom? Trikset her er å bruke uttrykket du har for et helt generelt polynom av si av grad $k$, også
faktorisere ut den største potensen. $c_k \cdot n^k$, ut av roten.

$ \displaystyle
\sqrt[\large n]{ P(n) } = \sqrt[n]{ c_k \cdot n^k \cdot P(1/n) }
= ( c_k \cdot n)^{k/n} \cdot \sqrt[n]{ P(1/n) }
$

Herfra trenger du å vise at begge grensene går mot 1. Og det er nå heldigvis ikke spesielt vanskelig.

[student1989]

Tusen hjertelig takk, veldig smart!