Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
1. Dropper lukketheten. En funksjon er da $f(x)=x$. $\lim_{x \rightarrow 0^+} = 0$, men tallet 0 er jo ikke inkludert i intervallet, og det samme gjelder ved punktet $x=1$.
2. Dropper kontinuiteten. En funksjon er da $f(x) = \frac{1}{x(x-1)}$. Denne går mot uendelig og minus uendelig.
3. Dropper begrensetheten. En funksjon kan da beskrives med $y^2 = x^2$, eller $f(x) = \pm x$. Den vil jo gå mot uendelig og minus uendelig ettersom x går mot uendelig. (Finnes det egentlig en-til-en (og kontinuerlige) funksjoner som oppfører seg slik at de ikke har maksiums- og minimums-punkter på et lukket og ubegrenset intervall?)
Jeg er ingen kløpper på dette feltet, men [tex]f(x) = \pm x[/tex] er ingen funksjon. En funksjon, per definisjon, skal kun ha EN y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden. Denne har to y-verdier for hver x-verdi.
Aleks855 skrev:Jeg er ingen kløpper på dette feltet, men [tex]f(x) = \pm x[/tex] er ingen funksjon. En funksjon, per definisjon, skal kun ha EN y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden. Denne har to y-verdier for hver x-verdi.
Noen andre får bekrefte/avkrefte det jeg sier her
Godt mulig du har rett i dette altså, jeg er ikke så dreven. Men jeg trodde man delte funksjoner inn i "en-til-en" (one-to-one) eller ikke dette. En en-til-en funksjon er jo en funksjon hvor det for enhver y tilhører kun én x, og for enhver x tilhører kun én y, slik at man ved å "reversere" funksjonen kommer tilbake til utgangspunktet. Hvis man snakker lineær algebra så snakker man jo om lineære transformasjoner, og en matrise A kan forårsake en slik transformasjon. Men er matrisen invertibel så vil $A^{-1}$ være den motsatte transformasjonen, altså avbilde bildet tilbake til utgangspunktet.
EDIT: Og hvis jeg ikke tar feil, så er en slik matrise A invertibel hvis transformasjonen er en-til-en.
En liten detalj angående en-til-en funksjoner. Det er ikke nødvendigvis slik at en y-verdi har en tilhørende x-verdi, men enhver x-verdi (i definisjonsmengden) har én y-verdi, og enhver y-verdi har én eller null tilhørende x-verdier.
Aleks har nok rett i at [tex]f(x) = \pm x[/tex] ikke er definert som en funskjon.
fuglagutt skrev:En liten detalj angående en-til-en funksjoner. Det er ikke nødvendigvis slik at en y-verdi har en tilhørende x-verdi, men enhver x-verdi (i definisjonsmengden) har én y-verdi, og enhver y-verdi har én eller null tilhørende x-verdier.
Aleks har nok rett i at [tex]f(x) = \pm x[/tex] ikke er definert som en funskjon.
Hm, skjønner.
Men da kommer ikke jeg på et eksempel på en funksjon uten ekstremalverdier som er kontinuerlige på et lukket intervall, men ikke begrenset...
fuglagutt skrev:En liten detalj angående en-til-en funksjoner. Det er ikke nødvendigvis slik at en y-verdi har en tilhørende x-verdi, men enhver x-verdi (i definisjonsmengden) har én y-verdi, og enhver y-verdi har én eller null tilhørende x-verdier.
Aleks har nok rett i at [tex]f(x) = \pm x[/tex] ikke er definert som en funskjon.
Du har forøvrig selvsagt helt rett i dette du sier om en-til-en-funksjoner, det er jo ganske naiv å måtte tilordne en x til enhver y, da ville vel funksjonene måttet være noe lignende enhetsfunksjonen bare...
fuglagutt skrev:Skulle du ikke bare ha et lukket interval? Altså
[tex](0,\infty)[/tex]
Det der er da et åpent (og ubegrenset) intervall. Skulle jo ha et ubegrenset, men lukket. Altså f.eks. $[0,\infty)$, alternativ 3 i posten til plutarco...
Determined skrev:
Men da kommer ikke jeg på et eksempel på en funksjon uten ekstremalverdier som er kontinuerlige på et lukket intervall, men ikke begrenset...
$f(x)=x\sin(x)$ er en kontinuerlig funksjon (produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig) uten maksimum og minimum, definert på $[0,\infty )$.
Et annet og nyttig eksempel på en kontinuerlig, én-til-én funksjon på et åpent intervall som ikke har ekstremalpunkter og som ikke er begrenset er for øvrig $f(x)=\tan(\frac{\pi}{2}x)$ på $(-1,1)$.
1. Dropper lukketheten. En funksjon er da $f(x)=x$. $\lim_{x \rightarrow 0^+} = 0$, men tallet 0 er jo ikke inkludert i intervallet, og det samme gjelder ved punktet $x=1$.
2. Dropper kontinuiteten. En funksjon er da $f(x) = \frac{1}{x(x-1)}$. Denne går mot uendelig og minus uendelig.
3. Dropper begrensetheten. En funksjon kan da beskrives med $y^2 = x^2$, eller $f(x) = \pm x$. Den vil jo gå mot uendelig og minus uendelig ettersom x går mot uendelig. (Finnes det egentlig en-til-en (og kontinuerlige) funksjoner som oppfører seg slik at de ikke har maksiums- og minimums-punkter på et lukket og ubegrenset intervall?)
Er disse eksemplene korrekte?
1. er riktig.
2. Denne funksjonen har et maksimum i x=0.5. Hvis du vil ha et eksempel er f.eks. $f(x)=\frac{1}{x-0.5}$ for x=[0,1]\{0.5}, f(0.5)=0, en diskontinuerlig funksjon på [0,1] uten ekstremalpunkter.
3. Per definisjon er $\mathbb{R}$ lukket, som komplementet av $\emptyset $. Dermed kan du definere f(x)=x på hele R, og ende opp med en én-til-én kontinuerlig funksjon på et lukket intervall, uten ekstremalpunkter.
Dersom man begrenser seg til lukkede intervaller på formen $[a,\infty )$ eller $(-\infty, b]$, er saken annerledes. Man kan ikke finne én-til-én kontinuerlige funksjoner på disse intervallene uten enten minimal eller maksimalpunkt, rett og slett fordi slike funksjoner må være strengt voksende eller minkende, slik at funksjonsverdien i x=a enten må være et maksimum eller minimum.
Dette ser veldig enkelt ut. Hvis det er noe jeg ikke får med med, så hjelp meg.
La oss se på en funksjon f fra R^m->R, f>=0.
f(x) må bare være endelig. Den trenger ikke være kontinuerlig engang. Hvis den er kontinuerlig, så er den selvfølgelig endelig fordi den der endelig når |x| blir stor.
Derfor er f trivielt enten:
1. f(x)=0, eller
2. f(x)>0 for noen x.
Hvis (1), så er 0 maximum; ferdig.
Hvis (2), så er det noen endelige vektorer x slikt at y=f(x)>0 (siden |x| er endelig, y=f(x) er endelig og m er endelig). En eller flere av disse 'y' må være ett maksimum. Siden y er i R, som er ordnet, kan vi også finne disse. ferdig.
Intuitivt: eneste måte å unngå å ha ett maksimum måtte være å ha det uendelig lagt vekke fra 0, eller at dim er uendelig. Vi måtte ha funnet en funksjon som y=-e^(-(x*x)), men den er y<0 for x=0, og y skulle være positiv. Så unntatt (1), må f(x) ha et maksimum med x endelig.
PS: m trenger bare å være endelig for at absoluttverdien ikke skal bli uendelig for endelige punkter. (diagonalen i ett intervall [0,1] blir uendelig hvis dimensjonen er uendelig) Kanskje denne begrensingen kan nyanseres.
