Spørsmål om generelle avbildninger.

[student1989]

Hei, jeg har et spørsmål om generelle avbildninger. Jeg har lært litt om linær-avbilninger, så dette er veldig uvant for meg.

Se på F: A->R2 (y, x^2+1)
A er området 0<=x<=1, 0<=y<=1.

Hvis jeg transformerer hjørnene får jeg at de nye hjørnene er (0,1), (0,2), (1,2), og (1,1). Men hvordan kan jeg vite at F transformerer punkter inni det opprinnelige kvadratet, til inni det nye kvadratet. Eller hvordan kan man utelukke at det teoretisk sett ligger et punkt inne i det opprinnelige kvadratet som transformerer til et punkt utenfor det nye kvadratet? Kanskje man kan se det direkte av funksjonene i dette tilfellet, men jeg lurer på om det finnes en generell forklaring som kan brukes på alle tilfeller?

[Gustav]

Det du sier er at $f(x,y) = (y,x^2+1)$, men dette er vel ikke en lineær transformasjon, i og med at x er opphøyd i 2.

[student1989]

Det du sier er at $f(x,y) = (y,x^2+1)$, men dette er vel ikke en lineær transformasjon, i og med at x er opphøyd i 2.

Nei, jeg er helt enig. Det var mest ment som en opplysning at jeg bare har lært litt om lineære avbildninger, så generelle avbildninger er noe jeg kan veldig lite om. Beklager forvirringen, men poenget er at den skal være ikke-lineær.

[Gustav]

For generelle transformasjoner tror jeg ikke du kan si så mye.

For lineære transformasjoner kan man jo vise litt av hvert. Du får nesten spesifisere hva det er du vil vise. Jeg vet ikke helt om jeg forstår nøyaktig hva du vil vise. Er det at en lineær transformasjon avbilder et bestemt rektangel over i et polygon?

EDIT:

[student1989]

slettet

[student1989]

For generelle transformasjoner tror jeg ikke du kan si så mye.

For lineære transformasjoner kan man jo vise litt av hvert. Du får nesten spesifisere hva det er du vil vise. Jeg vet ikke helt om jeg forstår nøyaktig hva du vil vise. Er det at en lineær transformasjon avbilder et bestemt rektangel over i et polygon?

EDIT:

Nei, det handler egentlig ikke om lineære transformasjoner.

Presist kan man vel si at jeg lurer på om påstand 1, og påstand 2 holder:

Anta at F:A(i R2)->R2: er kontinuerlig og injektiv , og at A er begrenset og sammenhengende.

Påstand 1 : A avbildes på et begrenset sammenhengende område i B.
Påstand 2 : Et indre punkt i A avbildes på et indre punkt i B, og et randpunkt i A, avbildes på et randpunkt i B.

[wingeer]

Ang. påstand 1:
La $F:A \to \mathbb{R}$, hvor $A \subset \mathbb{R}$ er begrenset og sammenhengende, være en kontinuerlig og injektiv funksjon. Fra topologi vet vi at sammenhengenhet er bevart av kontinuerlig funksjoner, derfor er $f(A)$ også sammenhengende.
$f(A)$ trenger derimot ikke å være begrenset. Ta f.eks. $f: (0,1] \to \mathbb{R}$ med $f(x) = \frac{1}{x}$. Da vil man ha en kontinuerlig, injektiv funksjon som sender en sammenhengende begrenset mengde til en sammenhengende ubegrenset mengde. Dette kan derimot fikses ved å anta at A er kompakt, eller i dette tilfellet bare lukket (Heine-Borel).

[wingeer]

Påstand 2 (antar kompakthet av X (endret), og f(A) begrenset):
Siden $f$ er en homeomorfi på sitt bilde (antatt injektivitet + R^2 er Hausdorff, X kompakt!) vil åpne mengder $U \subset A$ sendes til åpne mengder $f(U) \subset f(A)$. La $U = \bigcup_{V^{open} \subset A} V$, i.e. unionen av alle åpne mengder i $A$ (altså $U=int(A)$). Da er $f(U)$ unionen av alle åpne mengder i $f(A)$ siden $f$ er en homeomorfi.
Med dette i bakhodet vil randen $\partial A = A \setminus int(A)$ sendes til $f (\partial A) = f(A) \setminus int(f(A)) = \partial f(A)$ igjen siden $f$ er en homeomorfi på sitt bilde.

[student1989]

Hei, tusen hjertelig takk! Jeg må innrømme at mange av detaljene i bevisene dine er langt over mitt nivå, hvis jeg tar mer matematikk skal jeg huske å komme tilbake til tråden, kanskje jeg da vil forstå alle detaljene.

Jeg har bare et lite oppfølgningsspørsmål. Jeg var usikker på om jeg trengte å anta injektivitet. Er det rett å forstå at beviset ditt for påstand 1 holder selv om vi ikke antar injektivitet? Og for å få påstand 2 til å fungerere så det ut som man måtte ha injektivitet?

[wingeer]

Hei, tusen hjertelig takk! Jeg må innrømme at mange av detaljene i bevisene dine er langt over mitt nivå, hvis jeg tar mer matematikk skal jeg huske å komme tilbake til tråden, kanskje jeg da vil forstå alle detaljene.

Jeg har bare et lite oppfølgningsspørsmål. Jeg var usikker på om jeg trengte å anta injektivitet. Er det rett å forstå at beviset ditt for påstand 1 holder selv om vi ikke antar injektivitet? Og for å få påstand 2 til å fungerere så det ut som man måtte ha injektivitet?

Det er bare litt "grunnleggende" topologi. Ikke noe å være redd for!

Det stemmer, ja. Har man ikke injektivitet blir det ikke nødvendigvis en homeomorfi og da vil man bare få resultatet den ene veien. I.e. $f^{-1}(int(A)) \subset int(f^{-1}(A))$ og $f^{-1}( \partial A) \subset \partial f^{-1}(A)$.

[viking]

Siden du har erfaring med lineære transformasjoner kan du se på problemet slik:
Transformasjonen er kontinuerlig. Den er også injektiv og surjektiv. Det er mer en nok til å si at transformasjonen er som en "strukket gummilapp", (du trenger ikke noe manifold teori for å få dette med deg)
Dette er mer en kravet for at transformasjonen kan på ethvert punkt tilnærmes med en lineær transformasjon, typisk tangentplanet. Dette kan gjøres i hele domenet til transformasjonen, så alle egenskaper du er vant til fra lineære transformasjoner er overførbare til alle nabolag i hele domene. (i.e. "strukket gummilapp")

Så påstand 1 og 2 holder.
Det er med andre ord ganske intuitivt: så lenge du unngår diskontinuiteter går det vanligvis bra

Til wingeer. Hvordan får du at det kan være en homomofisme uten at den også er surjektiv?

[wingeer]

$f: X \to f(X) \subset Y$ vil jo alltid være surjektiv.

[Gustav]

Kommentar til beviset av påstand 2: Dersom X ikke er kompakt vil f(x) ikke nødvendigvis være en homeomorfi, så da gjelder heller ikke beviset.

Et klassisk moteksempel er $f(t)=(\cos t, \sin t)$ for $t\in X=[0,2\pi)$ som er kontinuerlig og surjektiv, men ikke en homeomorfi. Her vil jo $int(f(X))=\emptyset$, mens int(X)=(0,1), bd(X)={0}

[viking]

$f: X \to f(X) \subset Y$ vil jo alltid være surjektiv.

Vi trenger kanskje ikke bli enig her, men kan du skrive dette klarere.
Slik jeg ser det er en surjektiv funksjon er en funksjon hvor bildet av domenet er det samme som kodomenet, eller at for hver y i kodomenet finnes den en x slik at f(x)=y. Du skriver at bildet er en sann delmengde av kodomenet, og da må det fines en y i kodomenet som ikke kan bildes av en x i domenet. Kanskje jeg misforstår symbolene du bruker.

[Gustav]

$f: X \to f(X) \subset Y$ vil jo alltid være surjektiv.

Vi trenger kanskje ikke bli enig her, men kan du skrive dette klarere.
Slik jeg ser det er en surjektiv funksjon er en funksjon hvor bildet av domenet er det samme som kodomenet, eller at for hver y i kodomenet finnes den en x slik at f(x)=y. Du skriver at bildet er en sann delmengde av kodomenet, og da må det fines en y i kodomenet som ikke kan bildes av en x i domenet. Kanskje jeg misforstår symbolene du bruker.

$f(X)=\{y\in Y : \exists x \in X\,s.a.\, f(x)=y\}$. Det han mener er at han redefinerer kodomenet til f(X). f vil jo alltid være surjektiv på f(X).

EDIT: Altså er f en bijektiv kontinuerlig avbildning mellom X og f(X), ikke mellom X og Y.