Bevis om konvergens av rekker

[Determined]

Fikk en oppgave som jeg løste på rappen, tror det er korrekt, men ble litt usikker siden det virket så lett.

Jeg har at $\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \rightarrow 0$ og at $a_n \geq 0$ for alle $n$. Vis at $\sum_{n=1}^\infty \sin{(a_n)}$ konvergerer hvis og bare hvis $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerer.

Slik er min løsning:

Hvis $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvererer, så kan en bruke grensesammenligningstesten mot rekka $a_n$. Da er $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin{(a_n)}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos{(a_n)}a_n'}{a_n'} = 1$.

Hvis $\sum_{n=1}^\infty \sin{(a_n)}$ konvererer, kan en bruke grensesammenligningstesten mot rekka $\sin{(a_n)}$. Da er $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sin{(a_n)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n'}{cos{(a_n)}a_n'} = 1$.

Resultatet følger av dette.

Er dette korrekt?

[Gustav]

Dessverre ikke mulig å bruke grensesammenligningskriteriet siden $\sin(a_n)$ ikke nødvendigvis er positiv.

[Nebuchadnezzar]

Regner med å skrive sinus som sin taylorrekke også bytte om på summene burde funke-

[student1989]

Dessverre ikke mulig å bruke grensesammenligningskriteriet siden $\sin(a_n)$ ikke nødvendigvis er positiv.

Men han skrev jo at lim{an->0} og an >= 0, da vil jo for tilstrekkelig store n, sin(an) være null eller positiv(men veldig liten)?

[Gustav]

Dessverre ikke mulig å bruke grensesammenligningskriteriet siden $\sin(a_n)$ ikke nødvendigvis er positiv.

Men han skrev jo at lim{an->0} og an >= 0, da vil jo for tilstrekkelig store n, sin(an) være null eller positiv(men veldig liten)?

Ja, sant det. Men det er jo noe man bør føye til i argumentasjonen.

[Gustav]

$a_n$ må gå mot 0 for at rekken $\sum a_n$ skal konvergere. Noe mer generelt resultat kan man vel ikke få, såvidt meg bekjent.

[student1989]

$a_n$ må gå mot 0 for at rekken $\sum a_n$ skal konvergere. Noe mer generelt resultat kan man vel ikke få, såvidt meg bekjent.

Hei, slettet ved et uhell spørsmålet du svarte på. Spørsmålet var om man kunne bevise dette uten at man antok at an>0.
Jeg har et lite spørsmål til. Sorry for at jeg hijacker tråden din Determined men jeg har samme oppgave på skolen.

Hvis jeg bruker Taylorrekker som ble nevnt tidligere får jeg at sin(an) konvergerer hvis an konvergerer, uten at vi trenger å anta at an > 0, er dette rett? Altså konvergerer sin(an), uansett hvilken konvergens an har.

Men det motsatte kan jeg ikke anta. F. eks. hvis an=pi, konvergerer jo sum{sin(an)}, men ikke sum{an}.

EDIT:
Etter å ha sett på beviset mitt med Taylorrekker litt nøyere tror jeg at jeg nok ikke det holder hvis an bare er betinget konvergent.

[Determined]

Siden $a_n \rightarrow 0$ (og $a_n \geq 0$) når $n \rightarrow 0$ kan man finne en ny rekke med ledd $b_m$ bestående av "halen" til rekka med ledd $a_n$, slik at $b_m \leq \pi$. "Hodet" på $a_n$ er en endelig sum, og så kan vi bruke grensesammenligningstesten på rekka med ledd $b_m$, siden $\sin{(b_m)} \geq 0$...

[Gustav]

Siden $a_n \rightarrow 0$ (og $a_n \geq 0$) når $n \rightarrow 0$ kan man finne en ny rekke med ledd $b_m$ bestående av "halen" til rekka med ledd $a_n$, slik at $b_m \leq \pi$. "Hodet" på $a_n$ er en endelig sum, og så kan vi bruke grensesammenligningstesten på rekka med ledd $b_m$, siden $\sin{(b_m)} \geq 0$...

Jepp, ser bra ut nå.

[Determined]