spørsmål om estimering

[student1989]

Hei, jeg har et spørsmål om estimering, vi har to simultane sannsynligeter X og Y,
i oppgaven har de estimert X ut i fra Y på en spesiell måte, jeg skjønner ikke helt hvorfor det virker å estimere X på denne måten.

Vi antar at x sin marginalfordeling er poisson fordelingen med parameter [tex]\lambda[/tex].
Altså har vi at:
[tex]p_{X}(X=x)=\frac{e^{-\lambda} *\lambda^{x}}{x!}[/tex]

Vi får også oppgitt at den betingede sannsynligheten til Y gitt X er binomisk med paramterer p
og X, altså:

[tex]p_{Y|X}(Y=y|X=x)=p^{y}*(1-p)^{x-y}*{x \choose y}[/tex]
Y kan altså ha verdi maks X.

Videre viser vi at den marginale tettheten til Y er poissonfordelt med paramere [tex]p\lambda[/tex], altså

[tex]p_{Y}(y) = \frac{e^{-p\lambda}*(p\lambda)^{y}}{y!}[/tex]

Nesten til slutt blir vi bedt om å finne X sin betingende fordeling gitt Y:

[tex]p_{X|Y}(x|y)=\frac{[(1-p)\lambda]^{x-y}*e^{-\lambda(1-p)}}{(X-Y)!}[/tex]
hvor X er større eller lik Y.
Det kan så vises at forventingsverdien til X gitt Y er:
[tex]E(X|Y=y)= y+(1-p)\lambda[/tex]


Til slutt får vi oppgitt at [tex]\lambda=100[/tex], p = 0.2 og den observerte verdien av Y er 27. Vi skal så estimere hva X er.

De har estimert X ved den siste ligningen, altså at x = 27+(1-0.2)*100=107
Men hva er egentlig grunnen til at dette er en god måte å gjøre det på?
Betyr det at [tex]E(X|Y=y)= y+(1-p)\lambda[/tex] at hvis vi så har y, så er [tex]y+(1-p)\lambda[/tex] forventingsrett?, eventuellt hvorfor er det en god estimator?

Personlig ville jeg estimert X ved å ta [tex]\hat{X}=\frac{y}{p}=\frac{27}{0.2} = 135[/tex], men er det en grunn til at den andre metoden er bedre? Hvis man regner ut forventningen til [tex]\frac{Y}{p}[/tex]under fordelingen for Y gitt X(den binomiske), så er jo denne estimatoren forventingsrett.

[Aleks855]

Hadde den vært binomisk fordelt, så hadde nok den du nevner vært bedre, men i tilfellet poissonfordeling, så ser det ut som de har estimert ei regresjonslinje, som gjør at man kan estimere X for en hvilken som helst observert Y.

Samtidig ser jeg ikke hvorfor du hadde ønsket å estimere X ved å bruke en observasjon av Y. Men nå er det en stund siden jeg så på simultanfordelinger, så det er mulig jeg overser noe.

[student1989]

Hadde den vært binomisk fordelt, så hadde nok den du nevner vært bedre, men i tilfellet poissonfordeling, så ser det ut som de har estimert ei regresjonslinje, som gjør at man kan estimere X for en hvilken som helst observert Y.

Samtidig ser jeg ikke hvorfor du hadde ønsket å estimere X ved å bruke en observasjon av Y. Men nå er det en stund siden jeg så på simultanfordelinger, så det er mulig jeg overser noe.

Hei, takk for at du tok deg tid til å svare.

Til spørsmålet ditt om hvorfor man vil gjøre dette, jeg har forenklet oppgaven for å ikke ha med for mye tekst. Det er egentlig en praktisk oppgave, hvor X er total antall dyr i en gitt skog, og Y er antall en vitenskapsmann har observert, modellen er slik at hvert dyr viser seg med sannsynlighet 0.2 uavhengig av hverandre osv. Jeg la ut hele oppgaven og fasit her:
http://oi41.tinypic.com/2zstmwk.jpg

Det som forvirrer meg, er at vanligvis når vi estimerer, så estimerer vi en paramterer i fordelingen(Vi bruker for eksempel [tex]\overline{X}[/tex] for å estimere en parameter [tex]\mu[/tex]), og X kan jo ses på som en parameter i denne gitte fordelingen for Y, men X er også en stokastisk variabel.

Men hvorfor tror du at de ikke har brukt Y/0.2 som et estimat? Du sier at de nå kan estimere X for hvilken som helst Y, men det kan man jo med Y/0.2 også?, og Y er jo faktisk binomisk fordelt gitt X.

Er det rett å si at estimatoren de har brukt, vil hvis man gjorde forsøktet mange ganger, og bare så på y verdier med 27, så vil gjennomsnittet av X verdiene være det de fikk, 107? Mens hvis man repeterer forsøket mange ganger i denne gitte skogen, så vil gjennomsnittet av Y/0.2 verdiene vi får gi X verdien i denne skogen. Hvis dette er rett tolkning, er det ikke da bedre å bruke Y/0.2?

[Aleks855]

I oppgave e) så er det X vi skal estimere. I oppgave d så får vi oppgitt at $\displaystyle X|Y = y$ kan sies å være $\displaystyle y+Z = y +(1-p)\lambda$

Det er vel bare dette som er brukt videre i e-oppgaven. Hvordan denne estimatoren utledes kan jeg ikke si stort om, annet enn det åpenbare som ligger i formelen slik den er skrevet.

Hadde begge variablene vært binomisk fordelt, så hadde det gitt mening å bruke estimatoren du nevner.

[student1989]

I oppgave e) så er det X vi skal estimere. I oppgave d så får vi oppgitt at $\displaystyle X|Y = y$ kan sies å være $\displaystyle y+Z = y +(1-p)\lambda$

Det er vel bare dette som er brukt videre i e-oppgaven. Hvordan denne estimatoren utledes kan jeg ikke si stort om, annet enn det åpenbare som ligger i formelen slik den er skrevet.

Hadde begge variablene vært binomisk fordelt, så hadde det gitt mening å bruke estimatoren du nevner.

Ja, de har bare brukt det videre, og det er kanskje logisk å gjøre det, siden de setter det inn i den forventede verdien til X, men jeg har aldri sett et eksempel på slik estimering før.

Hvorfor mener du: "Hadde begge variablene vært binomisk fordelt, så hadde det gitt mening å bruke estimatoren du nevner."
La oss si at du har en helt vanlig binomisk fordeling og skal estimere N, da ville du jo brukt denne estimatoren, men N er jo ikke binomisk fordelt, N er konstant. De bruker en formel som kommer av at X gitt Y og denne er(nesten) poisson fordelt ja, og det er marginalfordelingen til X og, men det kan jo bare være tilfeldig at denne disse er like? Hvis man snur hele problemet på hodet og skal estimere Y av X på samme måte som de gjorde, så ville de jo regnet E(Y|X) = 0.2*X,[siden deres estimator kom fra E(X|Y)] men da ville man jo med samme framgangsmåte, fått en estimator som kom fra den binomiske fordelingen, mens y sin marginalfordeling fortsatt er poisson-fordelt.

[student1989]

Jeg ser at en veldig kompakt måte å skrive spørsmålet på er, hvis man skal estimere X fra Y.
Hvorfor er det da bedre å bruke E(X|Y) = f(y) som estimat, enn det å bruke [tex]E(Y|X) = f_{2}(x),[/tex] og sette y'en inn på venstre-side og løse for x (hvis det uttrykket du da får [tex]f_{2}^{-1}(y)[/tex] er forventningsrett for x(som jeg tror den vil være for alle linære funksjoner i hvertfall)).