Konvergens av rekke

[Flabbrø]

a) Anta at følgen [tex]\{c_n\}[/tex] er begrenset og at rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer absolutt. Vis at rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty c_n a_n[/tex] konvergerer.

b) Gjelder resultatet i a) dersom vi antar [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer istedenfor å konvergere absolutt?


Min løsning på a):
Lar [tex]c=\max\{|c_n|\}[/tex].

For hver [tex]N[/tex] er
[tex]\sum_{n=1}^N |c_n a_n|\le \sum_{n=1}^N c|a_n| \le \sum_{n=1}^\infty c|a_n|[/tex]
Siden [tex]\sum_{n=1}^\infty |c_n a_n|[/tex] da er begrenset, må den også være konvergent.


Blir dette riktig? Det at de spør etter bevis for konvergens, og ikke absolutt konvergens, får meg litt i tvil. På oppgave b) vet jeg ikke helt hva jeg skal gjøre, så tar gjerne imot hjelp til den.

På forhånd takk.

[wingeer]

Jeg vet ikke om det har skjedd noe med Latex-koden din, men det ser litt ufullstendig ut herfra?
Husk at du ønsker å vise at rekken konvergerer. Da kan det være lurt å starte med det. I.e.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} c_n a_n[/tex].
Kan du bruke opplysningene du har på noen måte til å vise at dette må konvergere?

[wingeer]

For b)
Klarer du å komme opp med et moteksempel? Alternerende rekker vil være nærliggende ...

[Flabbrø]

Det manglet litt i innlegget, ja. Har rettet det opp nå.

Angående moteksempel, så bør vel dette fungere:
[tex]c_n=(-1)^n[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}[/tex]

[wingeer]

Det er faktisk akkurat det samme eksempelet jeg brukte.

Angående a)
Jeg tenkte ikke så langt. Jeg antar at det er snakk om følger i $\mathbf{R}$ og siden det rommet er Banach har man at absolutt konvergens => konvergens. Med andre ord har du vist konvergens siden følgen av delvis absolutte summer er monotont stigende og begrenset.

[Flabbrø]

Skulle være i [tex]\mathbb{R}[/tex], ja. Mange takk for hjelpen.

Har for øvrig en oppgave til jeg lurer på:
Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer.
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]

Hverken rottesten eller forholdstesten gir noen konklusjon, så jeg tenker jeg bør finne en annen (divergerende forteller Wolfram|Alpha) rekke å sammenligne med, men hvilken kan jeg bruke?

[fuglagutt]

En ganske så stygg måte å gjøre det på:

[tex]\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \frac{\frac{n^n}{(n+1)^n}}{n+1}[/tex]

Her kan du gjenkjenne at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = 1/e[/tex]

Evt bare se at den går mot en konstant. Vi ser at funksjonen over er synkende, altså er den alltid høyere enn 1/e, og vi kan skrive:

[tex]\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{\frac{n^n}{(n+1)^n}}{n+1} >\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{\frac{1}{e}}{n+1}[/tex]

Så holder det å vise at den siste rekka der divergerer

[Nebuchadnezzar]

La $a_n$ være lik det $n$'te leddet ditt og $b_n=1/n$.
Vis at $\lim_{n\to\infty} b_n/a_n$ er endelig, og siden $b_n$ diverger vil og $a_n$ divergere.

[Flabbrø]

Ah, tenkte ikke på å teste med brøken den veien, men det er jo også mulig. Takk til begge.

[Nebuchadnezzar]

Hvilken vei du tester brøken er likegyldig

[Flabbrø]

Hvordan bør jeg løse denne?

Vis at [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\sum_{n=0}^\infty \ln(1+a_n)[/tex] konvergerer.

På forhånd takk.

[Gustav]

Hvordan bør jeg løse denne?

Vis at [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\sum_{n=0}^\infty \ln(1+a_n)[/tex] konvergerer.

På forhånd takk.

Dette stemmer vel ikke uten videre. F.eks. dersom $a_0=-1$, og $a_n=0$ for alle andre n.

Er det en antagelse om at $a_n\geq 0$?

[Flabbrø]

Det har du helt rett i at det er. Glemte å ta det med. Beklager.

[Gustav]

Den ene veien kan du bruke at $x>\ln (1+x)$ for alle positive x, og sammenligningstesten.

[Flabbrø]

Takk. Men så langt kom jeg faktisk. Skulle ha nevnt det, tar lærdom.

Hva med andre vei?